Después de las batallitas históricas precedentes, las preguntas son:
¿Cómo se puede determinar la longitud utilizando las lunas de Júpiter? ¿Es posible llevarlo a la práctica hoy día? ¿Qué material necesitamos? ¿Es difícil?
La idea de Galileo es muy simple: un eclipse o una ocultación de un satélite de Júpiter es un evento que se ve simultáneamente desde cualquier punto de la superficie terrestre (naturalmente, desde cualquier punto que tenga en ese instante a Júpiter sobre el horizonte). Así que si yo sé a qué hora local del meridiano de referencia (o sea, hoy día, a qué hora UT) ocurre ese eclipse y anoto la hora civil del lugar a la que yo observo ese evento, no tengo más que restar ambas horas para tener la longitud expresada en tiempo. Pasar de longitud en tiempo a longitud en grados es muy sencillo pues ya sabemos que a cada hora le corresponden 15º.
Así que la cosa es fácil: los astrónomos nos proporcionan un Almanaque en el que vienen las horas UT de los eclipses y las ocultaciones de los cuatro satélites cada día del año. Nosotros sólo hemos de anotar la hora civil del lugar en nuestra situación a la que vemos uno de esos eventos. Para ello necesitamos un telescopio y un reloj de hora civil, es decir, un reloj que marque la hora civil del lugar cuya longitud queremos determinar. El telescopio no es necesario decir dónde se consigue (en el Lidl, por ejemplo). Pero, ¿dónde venden relojes de hora civil del lugar? En el Lidl yo no los he visto, pero quizás todo se andará. Mientras tanto, lo que hemos de hacer es ajustar un reloj para que indique la hora civil del lugar cuya longitud queremos determinar. Ya sabemos que la hora civil del lugar no es más que la hora UT más o menos (dependiendo de que estemos al este o al oeste) la longitud del lugar expresada en horas. Pero el problema es que no conocemos la longitud del lugar, es justamente lo que queremos determinar mirando las lunas de Júpiter. ¿Qué podemos hacer entonces? Pues la solución es ajustar el reloj a la hora civil de lugar utilizando para ello una observación de la altura del Sol, haciendo lo que se llama en navegación astronómica una “observación del tiempo” (un time sight en inglés). Y para eso necesitamos un sextante y el Almanaque Náutico. Veamos en qué consiste:
La idea es simple: la hora civil del lugar es, por definición, el tiempo que ha transcurrido desde que el Sol medio (que es un Sol ficticio definido para poder medir el tiempo) pasó por el meridiano inferior del lugar. Como no podemos observar el Sol medio (¡no existe!), lo que hemos de hacer es observar al Sol real y saber en ese instante qué distancia angular hay entre los meridianos en los que en ese momento se encuentra el Sol medio y el Sol real. Observado el ángulo entre el Sol real y nuestro meridiano y conocido el ángulo entre el meridiano en el que está el Sol real y el Sol medio en ese instante, podemos calcular el ángulo entre nuestro meridiano y el meridiano en el que está el Sol medio, o sea, podemos calcular la hora civil del lugar, ¿de acuerdo? Si esto se ha entendido el resto es sencillo porque el ángulo entre el Sol real y nuestro meridiano no es otra cosa que el horario del Sol en el lugar en el momento de la observación, es decir, el ángulo en el polo que aparece en el triángulo de posición:
Así que medimos con el sextante la altura del Sol en un instante dado. Corregimos adecuadamente por depresión del horizonte, refracción, etc y obtenemos la altura verdadera. La latitud es conocida (recordemos, nos encontramos en las mismas circunstancias de nuestros colegas navegantes de hace 400 años), la declinación del Sol también es conocida pues tenemos el Almanaque Náutico. Así que resolvemos el triángulo esférico (teorema de los cosenos empezando por el lado de la distancia cenital 90-a) y calculamos en ángulo en el polo, es decir, el horario del Sol en el lugar en el momento de la observación:
Cos(90-a) = cos(90-l)cos(90-delta) + sin(90-l)sin(90-delta)coshl
El horario del Sol en el lugar es el ángulo entre nuestro meridiano y el meridiano en el que, en ese instante, se encuentra el Sol. Pasado a horas es lo que se conoce como tiempo solar verdadero o tiempo local aparente, TLA. Conocido el tiempo local aparente es sencillo hallar la hora civil del lugar si conocemos la ecuación del tiempo, ET, pues
ET = TLA+12-Hcl.
Obsérvese que sumamos 12 horas al tiempo local aparente antes de hacer la resta puesto que TLA lo hemos medido desde el meridiano superior del lugar mientras que Hcl la medimos desde el meridiano inferior del lugar. Más aún, puesto que TLA lo medidos desde el meridiano superior, será positivo si hl es hacia el oeste, de manera que en ese caso TLA es el tiempo que hace que el Sol pasó por el meridiano, y será negativo cuando hl es hacia el este siendo entonces el tiempo que falta para que el Sol pase por el meridiano del observador. De esta manera, TLA varía entre -12 y +12 horas a lo largo de un día.
Así pues, una vez obtenido el tiempo local aparente correspondiente al instante de la medida de la altura del Sol y consultada la ecuación del tiempo en el Almanaque, obtenemos la hora civil del instante de la observación de manera muy sencilla:
Hcl = 12:00:00 + TLA – ET (***)
Existen dos fuentes de error en este procedimiento para determinar la hora civil, además, claro está, del error inherente al proceso de medida y corrección de la altura del Sol para obtener su altura verdadera. Esas dos fuentes de error son, por un lado, la declinación del Sol en el instante de la medida y, por otro lado, la ecuación del tiempo en ese instante. Ambas variables dependen del tiempo y cualquier anuario que utilicemos para obtener sus valores, por ejemplo el Almanaque Procivel, nos las proporciona en función de la hora UT. Pero no conocemos la hora UT del instante de la medida de la altura del Sol. Tan sólo si tenemos una estimación aceptable de la longitud (lo cual es probable si hemos recalado navegando a nuestro lugar de observación) podremos reducir este error. Para ello no tendremos más que iterar el proceso de cálculo: una vez obtenida Hcl como acabamos de explicar, obtenemos una estimación de la hora UT de la observación sin más que sumar o restar (según que estemos al oeste o al este de Greenwich, respectivamente) la longitud de estima (debidamente pasada a tiempo) a esta hora civil que acabamos de obtener. Con esta UT así obtenida calculamos nuevos valores de la declinación del Sol y de la ecuación del tiempo, procediendo entonces a volver a resolver el triángulo de posición para obtener un nuevo valor del tiempo local aparente y un nuevo valor de la hora civil. Repetimos entonces el proceso hasta obtener como resultado final el mismo que el inicial. Un ejemplo nos ayudará a fijar las ideas.
Supongamos que el día 15 de noviembre de 2011 nos encontrábamos en la posición 20º N, 40º W. Nuestra estima es, sin embargo, que nos encontrábamos en 20º, N, 35º W, es decir, conocemos nuestra latitud exacta pero tenemos un considerable error (5 grados, es decir, unas 280 millas náuticas de error teniendo en cuenta la latitud en la que nos encontramos) en la longitud. A las 13:56:42 UT la altura verdadera del Sol en esa posición era a=50º 55,0'. Puesto que lo que queremos comprobar con este ejemplo es el efecto del error en la declinación y la ecuación del tiempo sobre la hora civil determinada, supondremos que, tras medir la altura del Sol con el sextante y aplicar las correcciones correspondientes, esa es la altura verdadera que hemos obtenido. Así pues, nuestros datos son una situación de estima 20º N, 35º W y una altura verdadera del Sol a = 50º 55,0' medida antes del mediodía local el día 15 de noviembre de 2011. Con estos datos (y sólo estos, no sabemos la hora) queremos determinar la hora civil en el lugar del instante de la medida. La solución exacta que deberíamos obtener es la hora UT anterior menos (pues estamos en longitud oeste) la longitud exacta expresada en horas, es decir, la solución exacta es 11:16:42 (la longitud exacta expresada en tiempo es 02:40:00).
La página diaria del Almanaque Náutico nos indica que un valor razonable para la declinación del Sol es delta = 18º 24,0' S. Puesto que nuestra latitud es norte y la declinación es sur, la codeclinación es 90º +delta = 108º 24,0'=108,4º. La colatitud es Cl = 90º - l = 70º. La distancia cenital es Ca = 90º - a = 90º - 50º 55,0' = 39,083333º. El teorema de los cosenos nos dice entonces que
cos39,083333 = cos70 cos108,4 + sin70 sin108,4 cos hl
de donde obtenemos
hl = 7,4185º E
hacia el este pues hemos observado el Sol antes de su paso por el meridiano. Este resultado expresado en tiempo es el tiempo local aparente, negativo en este caso pues el Sol aún no ha pasado por nuestro meridiano:
TLA = - 00:29:40
Para utilizar la ecuación (***) y obtener la hora civil del lugar necesitamos conocer la ecuación del tiempo en el instante de la observación. Nada más fácil pues el Almanaque Procivel, programa gratuito que se descarga de mi web, la proporciona. Como no sabemos la hora, utilizamos un valor cualquiera de ET el día en cuestión, por ejemplo ET = 00:15:30. El resultado para la hora civil del lugar en el instante de la medida de la altura del Sol es, pues, de acuerdo con la ecuación (***),
Hcl = 12:00:00 - 00:29:40 - 00:15:30 = 11:14:50
que, comparada con el resultado exacto 11:16:42, significa un error de 1 minuto 52 segundos de error. Este es el error introducido por el uso de valores aproximados de la declinación y la ecuación del tiempo. Pero este resultado nos permite una mucho mejor estimación de la declinación y de la ecuación del tiempo en el momento de la medida, Basta para ello obtener la hora UT de la observación sin más que sumar (pues estamos al oeste) la longitud de estima (no conocemos la exacta) expresada en horas. Puesto que la longitud de estima (35º W) expresada en tiempo es 02:20:00, la hora UT estimada de la observación es 11:14:50 + 02:20:00 = 13:34:50. Volvemos ahora al Almanaque con esta UT y obtenemos mejores valores para la declinación del Sol y la ecuación del tiempo en el momento de la medida de la altura: delta=18º 28,7' S, ET = 15m 27,7s = 00:15:28 (redondeamos las horas al segundo próximo). El nuevo valor de la codeclinación es 108,4783333º. Aplicamos de nuevo el teorema de los cosenos utilizando este nuevo valor de la codeclinación (los otros dos datos, la colatitud y la distancia cenital, son, evidentemente, los mismos que antes) con lo que obtenemos un nuevo valor del horario del Sol en el lugar:
hl = 6,9844º E
que expresado en tiempo nos da un tiempo local aparente:
TLA= - 00:27:56
La ecuación (***) conduce a:
Hcl = 12:00:00 - 00:27:56 - 00:15:28 = 11:16:36
es decir, 6 segundos de error. Si volvemos a repetir el proceso, obteniendo una nueva estimación de la hora UT de la observación a partir de esta Hcl, una nueva declinación y ET, etc, obtenemos el resultado Hcl = 13:46:38, es decir, 4 segundos de error con respecto al resultado exacto. El proceso ya no da más de sí porque si ahora intentamos repetir el cálculo la nueva declinación y ecuación del tiempo son las mismas que las de partida. Así que 13:46:38 es el mejor resultado que podemos obtener. No está nada mal teniendo en cuenta el enorme error que tenemos en la longitud de estima.
Hemos aprendido, pues, a poner en hora un reloj de hora civil para el lugar cuya longitud queremos determinar. Si tenemos una estimación aceptable de la longitud, el error del reloj será el introducido por los errores en la medida de la altura del Sol, pero ese error será en general muy pequeño. En un lugar en tierra, que es de hecho donde el método de los eclipses puede aplicarse, no dispondremos seguramente de una visión del horizonte para medir la altura del Sol. Utilizaremos, por tanto, un horizonte artificial de los cuales el más barato y sencillo de usar es posiblemente un plato con aceite (ya hemos hablado en repetidas ocasiones de este horizonte artificial en este mismo foro). Hemos resuelto el primer ingrediente para aplicar el método: ajustar un reloj para que marque la hora civil del lugar cuya longitud queremos determinar. Necesitamos para ello un reloj, claro está, un sextante y, seguramente, un plato con aceite de oliva del bueno.
Tan sólo nos falta el otro ingrediente: la tabla con las horas UT de los eclipses y ocultaciones. Eso lo dejamos para la siguiente entrega.
Saludos,
Tropelio