[Flying Dutchman]

Buenas:
Una prueba facil de si funciona el alternador es la siguiente.
Con un voltimetro en la mano, el motor apagado, comprueba la bateria.
Esta deberia tener unos 13 voltios, quiza un poco más.
Si tiene 12 justos o quiza un poco menos, 11,8 o así, el problema es la bateria.
Arranca el motor y vuelve a comprobar la bateria con el voltimetro, deberia tener, con el motor en marcha, unos 15 voltios, quiza no llegue, pero si debe tener mas que con el motor apagado, esos voltios de más son los que le mete el alternador.

Y efectivamente, es posible que la bateria este estropeada, de hecho es lo mas probable.