[Mascocó]

Originalmente publicado por mazarredo

Un cazador sale de caza desde un punto determinado de la Tierra, avanza 20 millas hacia el sur y no encuentra nada que cazar, gira 90º exactos a su derecha, avanza otras 20 millas y tampoco encuentra ninguna presa, gira entonces 90º exactos a su derecha, avanza otras 20 millas, y se encuentra exactamente en el mismo lugar de donde salió y mata un animal ¿De que color es más probable que sea el pelo del animal (la capa), y razonar el por que?.

Vamos a ver cuánto meto la pata yo, porque la verdad es que ya me he liado un par de veces.

En primer lugar, si en el planteamiento solo hay una restricción, empezar caminando al sur, y los otros condicionantes son andar X distancia y girar 90º, yo me pregunto... si haces exactamente lo mismo, andar y girar respecto a ti mismo y hablamos de una esfera perfecta, ¿por qué la situación relativa inicio/final va a ser diferente?, es decir ¿qué diferencia hay entre el punto "polo norte" y otro punto cualquiera de la esfera?, pués ninguno, me respondo yo, en este caso la definición norte-sur en todo caso.

Así, la distancia y orientación relativas entre el punto inicial y el final serán las mismas salgas del punto de la esfera terrestre que salgas. El único condicionante que pone el enunciado es que empiezas caminando hacia el sur, lo cual quiere decir solamente que el único punto desde el que no puedes salir es el polo sur. Cualquier otro cumple la condición de empezar caminando hacia el sur. Si estás en una latitud sur más alta de 89º40'S lo único que ocurrirá será que, en el primer recorrido, atravesarás el polo sur y seguirás caminando, pero nada más. Si la condición fuera “caminar hacia el sur durante todo el primer tramo” tendrías que salir de una latitud menor de los 89º40'S para cumplirla.

Ahora, ¿a dónde nos llevan los tres recorridos?, pués desde luego, con 20 millas de camino en cada tramo, al punto de salida no. Girar 90º exactos significa continuar tu recorrido al final de cada tramo por la circunferencia de circulo máximo exactamente perpendicular a la también circunferencia de círculo máximo por donde venías (la condición de empezar hacia el sur impone empezar a caminar por un meridiano, que es circunferencia de círculo máximo). Y desde luego, si sales del polo norte, no continúas caminando por el paralelo de latitud 89º40’ N. Ahora mismo sólo veo el caso de que salgas de un punto de latitud 0º20’N para que continúes por un paralelo, en este caso el Ecuador.

Es decir, estás siguiendo un rumbo ortodrómico, con lo que, si fuera verdad que volvieras al punto de partida y has girado dos veces con el mismo ángulo, el triángulo esférico que se forme deberá ser equilátero. Y quiero entender por equilátero, en un triángulo esférico también, el que tenga lados iguales y ángulos iguales.

Entonces, si aplico la ley de los cosenos a los dos primeros tramos y al ángulo que forman (tramos a,b y ángulo C entre ellos) resulta para el tercer tramo c:
cos(c)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)cos(C)

Para a=b=20' y C=90º
c=0,4714....º= 28,284... millas

es decir, independientemente de que el segundo giro no sería de 90º la distancia a recorrer tampoco sería de 20 millas. Si caminas 20 millas no se cierra el triángulo... no se llega al punto de partida.

Hay un único caso en que los dos giros de 90º dan el resultado apetecido, volver al punto de partida, y es recorrer 90º de circunferencia es decir 5.400 millas, total pa ná. Y esto ocurrirá partiendo de cualquier punto de la esfera. Menos del polo sur claro, ya que no podemos caminar más al sur del sur.

Otra manera de verlo, ¿Qué ángulo hay que girar para llegar al punto de partida?. Pués depende de la longitud de los tramos, evidentemente, cuanto más pequeños sean más se aproximarán a los 60º (mayor aproximación a la geometría plana), y cuanto más grandes más a los 90º, por ejemplo:
En este caso el problema se expresa por:
cos(A)=(cos(t)-cos(t)^2)/sen(t)^2

Tramos de t=20 millas, ángulos de 60.00028…º.
Tramos de t=40º= 2.400 millas, ángulos de 64.3…º.
Tramos de t=70º= 4.200 millas, ángulos de 75.2…º.

Para que se cumpla el objetivo del problema, averiguar que vuelves al mismo punto, el planteamiento, que es como yo lo había oído hace 100 años, sería, más o menos:

Un cazador anda X kilómetros hacia el sur, X kilómetros hacia el este y X km. hacia el norte, pega un tiro y mata a un oso, ¿de qué color es el oso?.

Entonces, y fijaros que la distancia recorrida en el segundo tramo da igual, el único punto sí es el polo norte y el oso debería ser (que nunca se sabe hoy en día el pelaje de cada cuál), blanco.

Espero que no tenga que ponerme el traje de aguas.

Saludos