Radianes y Curvas de Estabilidad

[scampolo]

En una curva de estabilidad estática,no entiendo la razón de usar radianes para determinar el GM.Ni porqué obtienen el valor de GM ,partiendo del eje de abcisas con valor 1 r o 57,3º
No se como me meto en estos líos a mi que me gusta enterarme del porqué de las cosas.
A ver si me podéis ayudar

Hola Joven,

Bueno, pues es una cuestión matemática sencilla que espero poder explicarte sin tener que enrollarme más de la cuenta. Vamos a ver, supongo que sí habrás entendido y tendrás claro que la curva de estabilidad para escoras pequeñas es simplemente:

GZ = GM x sin(Theta)

donde Theta es el ángulo de escora. Ahora bien, fíjate en el siguiente dibujo:



El seno de un ángulo se define como el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir, en el caso del dibujo:

Sin(Theta) = y/R

y esto es así siempre, por definición de esa razón trigonométrica de un ángulo (por cierto, por eso el seno, el coseno, la tangente, etc se llaman razones trigonométricas, porque son simplemente la razón, es decir el cociente, entre diferentes lados de un triángulo rectángulo). Pero en el caso que a nosotros nos interesa ahora resulta que Theta es muy pequeño. Entonces es claro del dibujo que te he puesto arriba que el cateto y y el arco S sustentado por el ángulo Theta son práctiamente iguales. Así que para ángulos suficientemente pequeños podemos aproximar el seno por el cociente S/R en lugar de utilizar el valor exacto (por definición) y/R. Entonces la curva de estabilidad para escoras pequeñas puede aproximarse como:

GZ = GM S/R (*)

¿de acuerdo? Pero, amigo mío, ahora viene lo bueno y, una vez más, la razón por la que insisto siempre en la importancia de los conceptos: 1 radián se define como el ángulo que sustenta un arco igual al radio. En otras palabras, la relación entre el arco sustentado, el radio y el ángulo en radianes es, por definición del radián:

S = R x Theta

O sea, que el cociente S/R es el ángulo Theta expresado en radianes. La ecuación (*) de arriba para la curva de estabilidad para el caso de pequeñas escoras se puede entonces escribir simplemente como:

GZ = GM x Theta

con Theta en radianes. Entonces está clara la respuesta a tu pregunta: GM y GZ son iguales cuando Theta = 1 radián. Por eso calculamos GM haciendo Theta = 1 radian en la ecuación GZ = GM x Theta que es, precisamente, la recta tangente a la curva GZ en el origen. O sea, el método que explican todos los libros para calcular GM.

Espero que te haya quedado claro.

Saludos,
Tropelio

[ercapitantan]

Siento disentir de lo que dice, maese Tropelio, debe de haber una errata en su razonamiento
GM y GZ NO son iguales cuando Theta = 1 radián.

Originalmente publicado por ercapitantan

Siento disentir de lo que dice, maese Tropelio, debe de haber una errata en su razonamiento
GM y GZ NO son iguales cuando Theta = 1 radián.

No sienta Ud disentir: la discusión es SIEMPRE la fuente del aprendizaje para todos. Quizás me he expresado mal o al menos no con todo el detalle necesario: cuando he dicho que GM es GZ para Theta =1 radian me refería a la ecuación aproximada que he puesto: GZ = GM x Theta. Naturalmente esta NO es la ecuación que nos da el brazo del par adrizane para una escora de 1 radian (que NO es precisamente una escora pequyeña). Pero SI es cierto que GM es la el valor de GZ obtenido de ESA ecuación para Theta = 1 radian. Esa ecuación es la aproximación para GZ válida para Theta muy pequeña. Todo esto para no mentar la bicha y hablasr de que GM es la derivada de la curva de estabilidad en el origen, que es la manera sencilla de expresarlo todo si manejamos apropiadamente el concepto de derivada. Pero no quería complicar las cosas mas de lo necesario...

Gracias por discrepar.

Saludos,
Tropelio

[scampolo]

....Y que Gm sea igual a la tang de alfa(siendo alfa el angulo formado por la tangente a la curva de estabilidad en el inicio y el eje de abcisas) ; es solo para escoras pequeñas o también se aplica a escoras más grandes?.....Fijo que no me da tiempo terminar el temario a Noviembre de este año a este ritmo

Originalmente publicado por scampolo

....Y que Gm sea igual a la tang de alfa(siendo alfa el angulo formado por la tangente a la curva de estabilidad en el inicio y el eje de abcisas) ; es solo para escoras pequeñas o también se aplica a escoras más grandes?.....Fijo que no me da tiempo terminar el temario a Noviembre de este año a este ritmo

Pues es otra manera, completamente equivalente, de decir lo mismo: la tangente del ángulo que forma la tangente geométrica a la curva GZ(Theta) en el orgien ES la derivada de esa cuerva en ese punto, o sea, es GM. No hay más que utilizar el concepto de derivada de una función en un punto, y más concretamete su interpretación geomética, para llegar a esa conclusión: la derivada de una curva en un punto es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

Saludos,
Tropelio

[scampolo]

Gracias Tropelio.Me ha ayudado tú explicación a comprender algo más de la razón de uso del radián.