Radianes y Curvas de Estabilidad

[scampolo]

En una curva de estabilidad estática,no entiendo la razón de usar radianes para determinar el GM.Ni porqué obtienen el valor de GM ,partiendo del eje de abcisas con valor 1 r o 57,3º
No se como me meto en estos líos a mi que me gusta enterarme del porqué de las cosas.
A ver si me podéis ayudar

Hola Joven,

Bueno, pues es una cuestión matemática sencilla que espero poder explicarte sin tener que enrollarme más de la cuenta. Vamos a ver, supongo que sí habrás entendido y tendrás claro que la curva de estabilidad para escoras pequeñas es simplemente:

GZ = GM x sin(Theta)

donde Theta es el ángulo de escora. Ahora bien, fíjate en el siguiente dibujo:



El seno de un ángulo se define como el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa, es decir, en el caso del dibujo:

Sin(Theta) = y/R

y esto es así siempre, por definición de esa razón trigonométrica de un ángulo (por cierto, por eso el seno, el coseno, la tangente, etc se llaman razones trigonométricas, porque son simplemente la razón, es decir el cociente, entre diferentes lados de un triángulo rectángulo). Pero en el caso que a nosotros nos interesa ahora resulta que Theta es muy pequeño. Entonces es claro del dibujo que te he puesto arriba que el cateto y y el arco S sustentado por el ángulo Theta son práctiamente iguales. Así que para ángulos suficientemente pequeños podemos aproximar el seno por el cociente S/R en lugar de utilizar el valor exacto (por definición) y/R. Entonces la curva de estabilidad para escoras pequeñas puede aproximarse como:

GZ = GM S/R (*)

¿de acuerdo? Pero, amigo mío, ahora viene lo bueno y, una vez más, la razón por la que insisto siempre en la importancia de los conceptos: 1 radián se define como el ángulo que sustenta un arco igual al radio. En otras palabras, la relación entre el arco sustentado, el radio y el ángulo en radianes es, por definición del radián:

S = R x Theta

O sea, que el cociente S/R es el ángulo Theta expresado en radianes. La ecuación (*) de arriba para la curva de estabilidad para el caso de pequeñas escoras se puede entonces escribir simplemente como:

GZ = GM x Theta

con Theta en radianes. Entonces está clara la respuesta a tu pregunta: GM y GZ son iguales cuando Theta = 1 radián. Por eso calculamos GM haciendo Theta = 1 radian en la ecuación GZ = GM x Theta que es, precisamente, la recta tangente a la curva GZ en el origen. O sea, el método que explican todos los libros para calcular GM.

Espero que te haya quedado claro.

Saludos,
Tropelio

[ercapitantan]

Siento disentir de lo que dice, maese Tropelio, debe de haber una errata en su razonamiento
GM y GZ NO son iguales cuando Theta = 1 radián.

[scampolo]

Gracias Tropelio.Me ha ayudado tú explicación a comprender algo más de la razón de uso del radián.

Originalmente publicado por ercapitantan

Siento disentir de lo que dice, maese Tropelio, debe de haber una errata en su razonamiento
GM y GZ NO son iguales cuando Theta = 1 radián.

No sienta Ud disentir: la discusión es SIEMPRE la fuente del aprendizaje para todos. Quizás me he expresado mal o al menos no con todo el detalle necesario: cuando he dicho que GM es GZ para Theta =1 radian me refería a la ecuación aproximada que he puesto: GZ = GM x Theta. Naturalmente esta NO es la ecuación que nos da el brazo del par adrizane para una escora de 1 radian (que NO es precisamente una escora pequyeña). Pero SI es cierto que GM es la el valor de GZ obtenido de ESA ecuación para Theta = 1 radian. Esa ecuación es la aproximación para GZ válida para Theta muy pequeña. Todo esto para no mentar la bicha y hablasr de que GM es la derivada de la curva de estabilidad en el origen, que es la manera sencilla de expresarlo todo si manejamos apropiadamente el concepto de derivada. Pero no quería complicar las cosas mas de lo necesario...

Gracias por discrepar.

Saludos,
Tropelio

[scampolo]

....Y que Gm sea igual a la tang de alfa(siendo alfa el angulo formado por la tangente a la curva de estabilidad en el inicio y el eje de abcisas) ; es solo para escoras pequeñas o también se aplica a escoras más grandes?.....Fijo que no me da tiempo terminar el temario a Noviembre de este año a este ritmo

Originalmente publicado por scampolo

....Y que Gm sea igual a la tang de alfa(siendo alfa el angulo formado por la tangente a la curva de estabilidad en el inicio y el eje de abcisas) ; es solo para escoras pequeñas o también se aplica a escoras más grandes?.....Fijo que no me da tiempo terminar el temario a Noviembre de este año a este ritmo

Pues es otra manera, completamente equivalente, de decir lo mismo: la tangente del ángulo que forma la tangente geométrica a la curva GZ(Theta) en el orgien ES la derivada de esa cuerva en ese punto, o sea, es GM. No hay más que utilizar el concepto de derivada de una función en un punto, y más concretamete su interpretación geomética, para llegar a esa conclusión: la derivada de una curva en un punto es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

Saludos,
Tropelio

[ercapitantan]

Originalmente publicado por Tropelio

Pero SI es cierto que GM es la el valor de GZ obtenido de ESA ecuación para Theta = 1 radian.

Siento seguir disintiendo maese,
el GM no es el valor del GZ para θ = 1 radian, ni tiene nada que ver

como dice esa ecuación (GZ = GM θ) solo es aplicable para escoras pequeñas, por tanto no puede aplicarse para una inclinación de 57,3º, ya que puede llevar a errores de concepto muy gordos como creer que esa fórmula se aplica para todas las escoras.

Scampolo, con el permiso de Tropelio, intento explicártelo,

Lo único que hay que saber desde el punto de vista práctico a efectos de dibujo de la curva de estabilidad, es tomar como ordenada el valor del GM en la abscisa 57,3º (1 radian), unir ese punto con el origen de la curva y ya está.

Esa línea es la tangente en el origen de la curva GZ y sirve para saber como arranca la curva GZ desde el origen, además esa línea por tanto nos da los valores de GZ para pequeños ángulos, despues la curva GZ se dispara hacia arriba o hacia abajo de la tangente, pero siempre arranca con esa pendiente.

Si quieres saber de donde sale, (en cualquier libro se puede encontrar)

La tangente en el origen de la curva GZ (tg α), indica el ángulo de salida de la curva GZ siendo α el ángulo que forma el eje de abscisas con dicha tangente,

La expresión de la curva GZ en las proximidades del origen es
GZ = GM sen θ
tg α = dGZ/dθ = d(GMsenθ)/dθ = GM cos θ = GM
ya que en las proximidades del origen (θ = 0), cos θ =1

bueno, creo que ya no hay más que contar de este tema

Originalmente publicado por ercapitantan

Siento seguir disintiendo maese,
el GM no es el valor del GZ para θ = 1 radian, ni tiene nada que ver

como dice esa ecuación (GZ = GM θ) solo es aplicable para escoras pequeñas, por tanto no puede aplicarse para una inclinación de 57,3º, ya que puede llevar a errores de concepto muy gordos como creer que esa fórmula se aplica para todas las escoras.

Scampolo, con el permiso de Tropelio, intento explicártelo,

Lo único que hay que saber desde el punto de vista práctico a efectos de dibujo de la curva de estabilidad, es tomar como ordenada el valor del GM en la abscisa 57,3º (1 radian), unir ese punto con el origen de la curva y ya está.

Esa línea es la tangente en el origen de la curva GZ y sirve para saber como arranca la curva GZ desde el origen, además esa línea por tanto nos da los valores de GZ para pequeños ángulos, despues la curva GZ se dispara hacia arriba o hacia abajo de la tangente, pero siempre arranca con esa pendiente.

Si quieres saber de donde sale, (en cualquier libro se puede encontrar)

La tangente en el origen de la curva GZ (tg α), indica el ángulo de salida de la curva GZ siendo α el ángulo que forma el eje de abscisas con dicha tangente,

La expresión de la curva GZ en las proximidades del origen es
GZ = GM sen θ
tg α = dGZ/dθ = d(GMsenθ)/dθ = GM cos θ = GM
ya que en las proximidades del origen (θ = 0), cos θ =1

bueno, creo que ya no hay más que contar de este tema

Bueno, estoy de acuerdo con lo que dices. No disentimos, estamos diciendo lo mismo. Insisto: yo NO digo (o no he querido decir) que GM sea el valor de GZ para theta = 1 radian. Naturalmente, la curva GZ(Theta) y la recta GZ = GM x Theta se aproximan suficientemente SOLO para Theta muy pequeña, precisamente con GM elegido de tal manera que GZ = GM x Theta sea la tangente de GZ(THeta) en el orgien. En fin, no vale la pena enrollarnos más, estamos de acuerdo al 100%.

Saludos,
Tropelio
PD. Por cierto, ¿como se consigue escribir letras griegas?

[scampolo]

Pues menos mal que os habéis puesto de acuerdo porque tenía ya otra vez la "picha" (o lo que sea )echa un lío.

La verdad que el esfuerzo para comprender vuestras explicaciones me ayuda a ver estos temas y otros ,comprendiendo porque suceden las cosas.