CY Examen Cálculos Madrid Junio 2007 1er día.

[Mascocó]

Apartado 1. Situación de estima rectificada a HRB 10:00

Al dato de altura instrumental ai le aplicamos las correcciones: Ei=-3 Dp(2,8m)=-3 R(55º35’8)=+15,4 Cadic.(24 Junio)=-0,3’
Con lo que la altura verdadera medida será: av=55º35’8-3’-3’+15,4’-0,3’
av=55º44’9

Calculamos, para la longitud de estima 50ºW, z=-3, luego el TU de la observación para HRB=10:00 será TU=HRB-z
TUo=13h00m

Obtenemos de la página diaria del Almanaque:
hGo=14º24’5 y do=23º24’8

Calculamos;
colatitud, Cl=90-l=90-40=50º
codeclinación, Cd=90-23º24’8=66,587
ángulo en el polo, P= hGo+L=14º24’5-50=-35,592=35,592E

y dibujamos el triángulo esférico



Calculamos Ca según:
cos(Ca)=cos(Cl)cos(Cd)+sen(Cl)sen(Cd)cos(P)
es decir
cos(Ca)=cos(50)cos(66.587)+sen(50)sen(66.587)cos(3 5,592)
obtenemos Ca=34,202 y por tanto la altura estimada será ae=90-Ca=90-34,202
luego ∆a=av-ae
∆a=-3,0’

y ahora, según:
cos(Z)=(cos(Cd)-cos(Cl)cos(Ca))/(sen(Cl)sen(Ca))
cos(Z)=(cos(66.587)-cos(50)cos(34,202))/(sen(50)sen(34,202))
Z=108,2ºE

Se puede resolver gráficamente o por cálculo de estima, que nos permite un dibujo rápido a mano alzada y nos da mayor precisión.


Al ser el ∆a negativo la recta de altura se traza en sentido opuesto.

∆l=∆axsen(Z-90)=3cos(108,2-90)=3cos(18,2)
∆l=0,9’N
lo=40º0,9’N

Para calcular ∆L calculamos primero el apartamiento A:
A=∆axcos(18,2)
Y a continuación el incremento de longitud (tomamos como latitud media lm=le=40) según: ∆L=A/cos(lm)
∆L =3,7’W
Lo=Le+∆L
Lo=50º3,7’W

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Apartado 2. HRB y Situación en el momento del paso del Sol por el Meridiano del Lugar

Ahora seguimos navegando hasta el paso del Sol por el meridiano del lugar. Según la página diaria para día 24 de junio de 2007 la hora TUpmg=12h2,4m, esta es la hora de paso del Sol por el meridiano de Greenwich, también será la hora civil de paso del Sol por el meridiano del lugar (de longitud Lo) Hcl, luego el TU de la observación, suponiendo que el barco no se mueve sería: TUpml=TUpmg-Lo/15=12h2,4m+50º3’7/15
TUpml=15h22m39s

El TU de la observación de la mañana fue a las 13:00, luego, suponiendo que observamos en TUpml que acabamos de calcular, habríamos estando navegando un tiempo t1= TUpml-TUo=2h22m39s=2,378 horas
La distancia D recorrida en este tiempo D=Vaxt1=18x2,378=42,8 millas.

Calculamos la situación de estima después de recorrer esta distancia al rumbo Rv=095º



∆l=Dxcos(Rv)=42,8cos(95)=-3,7
∆l=3,7’S

Para calcular ∆L calculamos primero el apartamiento A:
A=Dxsen(Rv)=42,8sen(95)
Y a continuación el incremento de longitud (tomamos como latitud media lm=lo+∆l/2=40) según: ∆L=A/cos(lm)
∆L =55,7’E
Le=49º8’W

Para esta Le calculamos el nuevo tiempo de tránsito del Sol por el meridiano del lugar en TU
TUtr1=TUpmg-Le/15=12h2,4m+49º8’/15=15h18m56s

La diferencia con el calculado suponiendo el barco sin movimiento
t=TUpml-TUtr1=15h22m39s-15h18m56s=3m43s

que podríamos considerar aceptable y dar por buena la situación estimada. Vamos a hacer de todas formas una nueva iteración para ver cómo se modifica esta diferencia.

Tomamos entonces TUtr1=15h18m56s como hora de la observación y repetimos los cálculos anteriores, obteniendo:
t2=2h19m
D=41,7 millas.
∆l=3,6’S
le=39º57,3’N

∆L=54,2’E
Le=49º9,5’W

Volvemos a calcular para esta Le el nuevo tiempo de tránsito del Sol por el meridiano del lugar en TU:
TUtr2=TUpmg-Le/15=12h2,4m+49º9,5’/15=15h19m2s

La diferencia en tiempo sale en este caso:
t=TUpml-TUtr2=15h22m39s-15h19m2s=3m37s

que, como era de esperar, dada la aproximación anterior, no ha variado sustancialmente con el primer cálculo, nos quedamos en cualquier caso con esta última hora TU y la última Le calculada.

Es decir la hora en TU de la observación a mediodía será:
TUo=15h19m2s
Que corresponde a una HRB:
HRB=TU+z=15h19m2s-3
HRB=12:19
En la situación de estima:
le=39º57,3’N
Le=49º9,5’W

Al dato de altura instrumental ai le aplicamos las correcciones: Ei=-3 Dp(2,8m)=-3 R(73º20’9)=+15,8 Cadic.(24 Junio)=-0,3’
Con lo que la altura verdadera medida será: av=73º20’9-3’-3’+15,8’-0,3’
av==73º30’4

Tomamos del almanaque la declinación del Sol para la hora TU de observación TU=15h19m:
do=23º24,7’

Al ser el momento de la observación el del paso del astro por el meridiano calculamos la latitud lo según: lo=d+Ca (por ser culminación mirando al sur, con Ca=90-av):
lo=23º24,7’+90-73º30,4’
lo=39º54’3N

Esta latitud calculada al mediodía la daremos como buena, con lo que el ∆l respecto a la situación estimada será:
∆l=lo-le=39º54,3’N-39º57’3N
∆l=3’S

ahora tenemos que calcular el ∆L para obtener la longitud de observación. Podemos hacerlo de dos formas, trasladando la recta de altura obtenida de la observación de la mañana o mediante el uso del coeficiente Pagel de esa observación.

Vamos a hacerlo primero por Pagel. Calculamos el coeficiente Pagel:
Q=1/tg(Cd)sen(P)-tg(l)/tg(P)

Con los datos de la primera observación,
l=40, Cd=66,587 y P=35,592, tendremos:
Q=1/tg(66,587)sen(35,592)-tg(40)/tg(35,592)
Q=0,428
Luego ∆L=Qx∆l=0,428x3
∆L=1,284

que, según el criterio de signos, al ser ∆l sur para la recta de altura y, también, para la observación a mediodía será ∆L W:
∆L=1,3’W

Lo=49º9,5’W+1,3W
Lo=49º10,8’W

Haciéndolo por traslado de la recta de altura.

Trasladamos la recta obtenida en la mañana al punto de situación estimada de observación a mediodía, su punto de corte con la latitud obtenida por la meridiana será la situación de observación:




Se puede resolver gráficamente o calculando por estima:

A=∆lxtg(Z-90)=3xtg(18,2)=0,986
lm=lo+∆l/2=39º55’8=39,93
∆L=A/cos(lm)=0,986/tg(39,93)=1,286

que, como se puede ver, es prácticamente igual al calculado por Pagel.

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Apartado 3. Rumbo y Velocidad de “B”.

Primero tenemos que averiguar el rumbo y velocidad del buque “B”. Podemos resolverlo de manera gráfica o analítica.

Gráficamente:



Dibujamos una línea para el rumbo de nuestro buque a Ra=095º y marcamos las posiciones a HRB 13:00 y a HRB 13:06 (a1 y a2), separadas 1,8 unidades (distancia recorrida por nuestro buque en 6 minutos=Va/10 millas). A partir de cada una de ellas y a 40º a estribor, es decir a rumbo 135º dibujamos las distancias a “B” en cada momento, obteniendo las posiciones b1 y b2 del buque “B”, la línea de unión entre b1 y b2 nos indica el rumbo de “B”.

Para tener mayor precisión en la medida prolongamos las líneas hasta que se corten. Gracias al teorema de Thales las medidas obtenidas Ma y Mb serán proporcionales a los segmentos a1a2 y b1b2, es decir, a las distancias recorridas por cada buque y por tanto, también a sus velocidades, luego podemos decir:
Mb/Ma=Vb/Va
Vb=VaxMb/Ma=18x6,6/9=13,2
Vb=13 nudos

El rumbo de “B” se mide directamente, obteniéndose:
Rb=017º

Medida del tiempo hasta llegar a la posición a3 de cambio de rumbo.

Sobre la línea a2b2, por ejemplo, y a 4 millas de a2 trazamos la paralela a nuestro rumbo que corte al rumbo del buque “B” y desde este punto de corte una nueva paralela a a2b2 que cortará a nuestro rumbo en el punto a3 que es cuando tenemos al buque “B” a 4 millas y efectuamos el cambio de rumbo. Medimos Mc=5,4 millas, luego el tiempo desde la posición a1 (HRB=13:00) será
t1=Mc/Va=5,4/18=0,3 horas=18 minutos.

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Apartado 3. Rumbo y Velocidad de “B”.

Cálculo del rumbo y velocidad de “B” de manera analítica.

Dibujamos, puede hacerse a mano alzada, el triángulo de la figura, que resulta de, digamos, eliminar el rectángulo del paralelepípido a1a2b2b1.




Como podemos ver es una simplificación del gráfico anterior. Uno de sus lados, que corresponde a la distancia recorrida por nuestro buque en el intervalo de seis minutos vale Da=1,8, otro a la distancia recorrida por “B” en ese tiempo, Db y el tercero vale d=a1b1-a2b2=10-8=2.

Trazamos la perpendicular desde el punto a2,b2 al lado opuesto d, dividiendo el triángulo anterior en dos triángulos rectángulos, en los que podemos establecer los valores de sus lados expuestos en el gráfico.

Con estos datos, también podemos establecer las siguientes relaciones:
tg(B)=1,8sen(40)/(2-1,8cos(40)), de donde obtenemos B:
B=61,772

Del teorema de los senos podemos decir que:
Db/sen(40)=1,8/sen(B)
Db=1,8sen(40)/sen(B)
Vb=10xDb=18 sen(40)/sen(B)=13,132
Vb=13 nudos

De la figura, Rb=45+B-90=16,772
Rb=017º

Medida del tiempo hasta llegar a la posición a3 de cambio de rumbo.

Si hiciéramos la misma “reducción” al paralelepípido a2a3b3b2 nos queda otro triángulo semejante al dibujado; ángulos iguales y lados proporcionales. Podemos entonces escribir:

a1b1(triángulo 1)/a2b2(triángulo 2)=a1a2(triángulo 1)/a2a3(triángulo 2)
2/4=1,8/a2a3 despejando: a2a3=3,6

La distancia a recorrer por nuestro buque desde a1 a a3 será:
a1a3=1,8+3,6=5,4 millas

con lo que al igual que en el caso anterior:
t1=a1a3/Va=5,4/18=0,3 horas=18 minutos.

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Apartado 3. Rumbo que deberemos poner para pasar a 2 millas de “B” y HRB en que estaremos a la mínima distancia de “B”.

Resolución gráfica.

Dibujamos las situaciones iniciales relativas del buque propio y el “B”, es decir el buque “B” a 4 millas del propio en la demora 135º y a 4 millas.



Desde el punto B dibujamos el vector velocidad del buque “B”, Vb, y desde el extremo de éste una circunferencia de radio 18 que es nuestra velocidad Va. Con centro la situación inicial de nuestro buque dibujamos otra circunferencia de radio 2 millas que es la distancia a la que queremos pasar de “B”.

Como siempre, suponemos que hay una corriente opuesta a nuestro vector velocidad que afecta por igual a los dos buques, con lo que nuestro buque no se mueve y el “B” lo hace según el vector resultante de la velocidad relativa entre los dos, que será la suma de su propia velocidad y la de la supuesta corriente, es decir, vector velocidad relativa Vab, Vab=Vb+Ic=Vb+(-Va).

Este vector tiene su origen en el punto B, tiene que estar sobre la línea tangente desde el punto B al círculo de 2 millas y su extremo en el punto de corte de la tangente con la circunferencia de 18 millas y su sentido hacia el punto A.

Se pueden dibujar dos tangentes, que cortan a la circunferencia de radio Va en cuatro puntos que dan inicialmente cuatro posibles soluciones, dos quedan eliminadas porque el vector Vab debe estar dirigido hacia el punto A (para que los barcos se acerquen) y otra porque nos dicen que nuestro barco vira a estribor.

La solución que resta es la representada en la figura. Medimos sobre el dibujo el módulo del vector velocidad relativa Vab, la distancia BC a recorrer hasta alcanzar el punto más cercano al A y el rumbo de Va.
Ra=142,6º
D=3,5 millas
Vab=27,6 nudos

El tiempo que tardaremos en llegar a C será:
t2=D /Vab =3,5/27,6=0,127h=7m37s

luego el tiempo total transcurrido desde la posición a HRB=13:00 será:
t=t1+t2=18m+7m37s=25m37s
HRB=13h25m37s

[Mascocó]

Apartado 3. Rumbo que deberemos poner para pasar a 2 millas de “B” y HRB en que estaremos a la mínima distancia de “B”.

Resolución analítica.

Del gráfico anterior podemos sacar los dos triángulos de la siguiente figura, que evidentemente podemos dibujar sin precisión a mano alzada, como se puede ver, los triángulos no están a escala.



El triángulo rectángulo corresponde al de la circunferencia de 2 millas y el otro a los vectores velocidad.

En el rectángulo calculamos la distancia D, deducimos que los ángulos A y B valen 30º y 60º respectivamente, bien por cálculo de los ángulos o simplemente fijándonos que la hipotenusa vale 2 y el doble que un cateto. Con esto calculamos D:
D=4cos(30)=3,464

Calculamos el ángulo d:
d=90-30-45=15º

luego, ya en el otro triángulo, el ángulo B:
B=d+Rb=15+17=32º

Ahora, por el teorema de los senos:
13/sen(C)=18/sen(B)
sen(C)=13sen(32)/18
C=22,5º
Ra=180-C-d=180-22,5-15
Ra=142,5º

también aplicando senos:
18/sen(B)=Vab/sen(E)
E=180-B-C=180-32-22,5=125,5
Vab=18sen(E)/sen(B)=18sen(125,5)/sen(32)=27,653

La HRB de llegada al punto más cercano a “B” la calculamos igual que en el caso anterior.
t2=D/Vab =3,464/27,653=0,125h=7m30s
t=t1+t2=18m+7m30s=25m30s
HRB=13h25m30s

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Apartado 4. Situación observada por Vega y Dubhe

Calculamos las av para Vega y Dubhe
Ei=-3’ Dp=-3’ R(Vega)=-1,2’ R(Dubhe)=-0,8’
av(Vega)=39º41,5’
av(Dubhe)=53º37,7’

Longitud L=047ºW nos da una z=-3
TU=HRB-z=23h10m
Interpolando los datos del almanaque para 23h y 24h obtenemos:
hGy= 260º13’25”

Cl=51º

….… Vega ………… Dubhe …
As=80º41,7’ …. 193º57,0’
d = 38º47,2’ .… 061º42,9’
P = 66,081ºE … 47,174ºW
Cd = 51,213 ….… 28,285




De la resolución de los determinates correspondientes a los triángulos esféricos obtenemos:
Para Vega : ∆a=-5,2 Z=68E
Para Dubhe: ∆a=+3,9 Z=35,8W

Con estos datos dibujamos las rectas de altura




Mediante la resolución gráfica obtenemos:
∆l=0,6’S
∆L=7,5’W

Luego la situación de observación será:
l=38º59,4’
L=047º7,5’W

Saludos y