CY Examen Cálculos Madrid Junio 2007 1er día.

[Mascocó]

Apartado 4. Situación observada por Vega y Dubhe

Una vez obtenidos los datos de las rectas de altura podemos resolver el problema analíticamente.

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Veamos primero cómo obtener un método general.

Una recta que corta a los ejex X e Y en los puntos a, y b queda definida por:
y=ax+b

El punto de corte x1,y1 de dos rectas definidas de esta manera por a,b y c,d respectivamente lo obtendremos resolviendo el sistema de ecuaciones:
y=ax+b
y=cx+d

que da como resultado:
x1=(d-b)/(a-c)
y1=ax1+b

en nuestro caso x1,y1 corresponden al Apartamiento A y al incremento de longitud ∆l respectivamente:
A=(d-b)/(a-c)
∆l=aA+b

Podemos expresar a,b en función del azimut Z y la diferencia de altura ∆a:
Zc= Z (si ∆a es positiva)
Zc=180+Z (si ∆a es negativa)

a=-tg(Zc)
b=∆a/cos(Zc) (∆a siempre positiva)
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Para este problema en particular tenemos:
Para Vega: ∆a=-5,2 Z=68E=068º Zc=(180+068)=248º
Recta de altura: y=ax+b

Para Dubhe: ∆a=+3,9 Z=35,8W=360º-035,8º=324,2º=Zc
Recta de altura: y=cx+d

Calculamos:
a=-tg(248)=-2,475
b=5,2/cos(248)=-13,881
a=-tg(324,2)=0,721
b=3,9/cos(324,2)=4,808

entonces:
A=(d-b)/(a-c)=-5,847
∆l=aA+b=0,591
∆l=0,6’N

∆L=A/cos(lm)=-5,847/cos(39)=-7,524
∆L=7,5’W

l=39º0,6’N
L=047º7,5’W


NOTA. Imagino que habrá otras maneras de poner las expresiones para la resolución analítica, yo he deducido éstas cuando me picó la curiosidad de ver cómo resolverlo sin dibujar las rectas de altura. Realmente parece demasiado complicado respecto a la solución gráfica, pero quizás pueda ser útil si las rectas se cortan mal para dibujar el corte con mediana exactitud.