Problema de Trigonometría esférica (geometria descriptiva)

[ivanlc]

Originalmente publicado por ivanlc

Bienvenidos a la geometría de Riemann!!
Euclides partió del principio que las rectas paralelas
que pasen por puntos distinsto nunca se crucen.
Riemann observó que quitando este axioma se podía seguir
haciendo geometría (ej. sobre la esfera).
Los triangulos tienen más de 180 grados sobre esta superficie.

El Norte tiene que ser el punto de partita porque el triángulo
pasa por dos meridianos y un paralelo. Los meridianos
se cruzan en los polos. Como va hacía el Sur pues se descarta
el polo norte.

Ooops, quise decir se descarta el polo Sur!

[Yofloto]

Como errar es de humanos... reconozco mi error al insinuar que ese paralelo y esa distancia recorrida era el unico caso en que se daba esa circunstancia.

En efecto, hay infinitos puntos.

Basta con recorrer en dirección N o S una distancia igual al perimetro del paralelo al que llegas.

Si recorres una distancia en sentido W o E igual al perímetro del paralelo al que llegas, acabas en el punto de partida al comenzar el recorrido sobre ese paralelo. Si después realizas el recoriido contrario al primer recorrido acabas en la situación inicial.

Si estás en el hemisferio N tendrás que iniciar el recorrido hacia el N.
Si estás en el hemisferio S tendrás que iniciar el recorrido hacia el S.

Y, obviamente, hay un límite pasado el cual los perímetros de los paralelos son siempre más largos que las distancias recorridas en dirección N ó S.

¿Alguien sabe cual es ese límite?

Buena pregunta...

Este dibujo no guarda las proporciones, pero da una idea.

[ivanlc]

Originalmente publicado por Yofloto

Como errar es de humanos... reconozco mi error al insinuar que ese paralelo y esa distancia recorrida era el unico caso en que se daba esa circunstancia.

En efecto, hay infinitos puntos.

Basta con recorrer en dirección N o S una distancia igual al perimetro del paralelo al que llegas.

Si recorres una distancia en sentido W o E igual al perímetro del paralelo al que llegas, acabas en el punto de partida al comenzar el recorrido sobre ese paralelo. Si después realizas el recoriido contrario al primer recorrido acabas en la situación inicial.

Si estás en el hemisferio N tendrás que iniciar el recorrido hacia el N.
Si estás en el hemisferio S tendrás que iniciar el recorrido hacia el S.

Y, obviamente, hay un límite pasado el cual los perímetros de los paralelos son siempre más largos que las distancias recorridas en dirección N ó S.

¿Alguien sabe cual es ese límite?

Buena pregunta...

Este dibujo no guarda las proporciones, pero da una idea.

Es FALSO que hay infinidad de puntos. Intenta terminar el triangulo
sobre tu dibujo con todos los ángulos a 90 grados (según el enunciado)
y verás que no es posible.

[mazarredo]

Vaya se ha animado el hilo. Me alegro.

De todas formas una cuestión: yo nunca he dicho que volviese hacia el Norte, sino que gira exactamente 90º en cada uno de los dos giros. Con esa condición solo se da el PN o el PS, al decir sale hacia el Sur, era una pista para descartar el PS, pero me temo que os ha "cegado" y en los giros habeis ido hacia el Norte, por lo que deducis que se puede dar en otro punto de la esfera, pero con giros exactos de 90º solo se da en los casquetes de los Polos.

Birras para todos, si os anima os puedo poner otro tambien curioso

[madrugon]

Yo tengo una duda, a ver si consigo explicarme.
En todo momento se está haciendo referencia a virar 90º a la derecha, pero lo que se quiere decir si no estoy equivocado es, empezando en un punto hacer 20' a un rumbo 180º, luego virar al rumbo 270º otras 20', y finalmente realizar otras 20' a un rumbo 360º 0 000º, no?
Pero en el planteamiento del problema no se habla de rumbos, ni de aguja, ni verdaderos, ni de superficie, ni efectivos, simplemente se dice que viras 90º a la derecha en cada cambio de dirección, y ahí es donde queria llegar. Si nos olvidamos del compás, y salimos de un punto determinado que en este caso es el l 90º 00' N L no se sabe o no importa o no existe, y realizamos 20' a rumbo Sur 180º pero al momento de realizar el cambio de rumbo, lo seguimos al pie de la letra del planteamiento, cogemos una escuadra de 90º exactos, y viramos 90º exactos a la derecha, estaremos trazando un rumbo 270º ??, teniendo en cuenta la cercania del Polo Norte de solo 20', y si una vez realizadas estas 20' en linea recta volvemos a realizar la misma operación, y viramos 90º a la derecha, y reitero lo de olvidandonos del compás, tranzando un cambio de rumbo de 90º geométricos, estais seguros de que volvemos al punto de partida???


TROPELIO DONDE ESTAS??????

[mazarredo]

Originalmente publicado por madrugon

Yo tengo una duda, a ver si consigo explicarme.
En todo momento se está haciendo referencia a virar 90º a la derecha, pero lo que se quiere decir si no estoy equivocado es, empezando en un punto hacer 20' a un rumbo 180º, luego virar al rumbo 270º otras 20', y finalmente realizar otras 20' a unrumbo 360º 0 000º, no?
Pero en el planteamiento del problema no se habla de rumbos, ni de aguja, ni verdaderos, ni de superficie, ni efectivos, simplemente se dice que viras 90º a la derecha en cada cambio de dirección, y ahí es donde queria llegar. Si nos olvidamos del compás, y salimos de un punto determinado que en este caso es el l oooºN L no se sabe o no importa o no existe, y realizamos 20' a rumbo Sur 180º pero al momento de realizar el cambio de rumbo, lo seguimos al pie de la letra del planteamiento, cogemos una escuadra de 90º exactos, y viramos 90º exactos a la derecha, estaremos trazando un rumbo 270º ??, teniendo en cuenta la cercania del Polo Norte de solo 20', y si una vez realizadas estas 20' en linea recta volvemos a realizar la misma operación, y viramos 90º a la derecha, y reitero lo de olvidandonos del compás, tranzando un cambio de rumbo de 90º geométricos, estais seguros de que volvemos al punto de partida???


TROPELIO DONDE ESTAS??????

Efectivamente Madrugón, en ningún momento se habla de rumbos, y eso es lo que hace que algunas personas se estén centrando en paralelos y meridianos. El triángulo equilatero con 3 angulos de 90º solo se puede dar en una esfera (se cumple, al igual que en el plano que a lados iguales se oponen angulos iguales), y la única manera de cerrar el triángulo es en uno de los dos casquetes, la distancia puede ser cualquiera, siempre que se cumpla que los tres "rumbos" tengan la misma magnitud.

Es curioso que en este hilo ocurre justo al contrario de lo que he observado en clase de navegación, en clase, las personas se centran en rumbos, derivas, abatimientos, etc. y no llegan a ver que estamos resolviendo triángulos "de los de toda la vida", solo que con nombres diferentes en sus definiciones, pero triángulos al fin y al cabo.

para todos

[Mascocó]

Solo para centrar alguna de las cosas de este hilo, más que nada para que no queden las cosas, en mi opinión, confusas y/o erradas.

También en mi opinión ya ha habido cofrades que han apuntado las cuestiones correctas, madrugón primero, luego Calixto y también beagle en su 2ª intervención y Calixto insiste de nuevo, y yo mismo (por no poner el burro delante), pero nadie parece hacernos mucho caso. (Y seguramente alguien escriba algo más mientras redacto esto).

Así que he hecho un dibujo para explicarme mejor.




En resumen, digo lo siguiente:

1.- Si vas hacia el NORTE desde el hemisferio sur y al llegar al Ecuador giras 90º a la derecha, irás hacia el ESTE.

Lo que es lo mismo:
2.- Si vas hacia el SUR desde el hemisferio norte y al llegar al Ecuador giras 90º a la derecha, irás hacia el OESTE.

Lo que es lo mismo:
3.- Si vas hacia el NORTE y al llegar al polo norte giras 90º a la derecha, irás hacia el SUR.

Todo esto es porque todas las circunferencias implicadas en los caminos recorridos son de círculo máximo y perpendiculares entre sí.

Pero…
4.- Si vas hacia el SUR desde el polo norte, punto P, y al llegar a un punto Q giras 90º a la derecha, NO irás hacia el OESTE. Estás de cara al punto R, por lo que, si sigues de frente llegarás hasta al punto R.

Esto es porque la Tierra, según las últimas informaciones, NO es plana. Por tanto, después del giro seguirás por la circunferencia de círculo máximo (definida por QR) perpendicular a la que seguias antes del giro, que era la definida por PQ. Dicho de otra manera, más ‘náutica’, seguirás un rumbo ortodrómico en el que tu rumbo INICIAL es OESTE=270º.

Ahora digo:
Los puntos P, Q y R son los vértices de un triángulo esférico. Si los lados PQ y QR son iguales (en la figura 70º=4200 millas) y el ángulo PQ/QR es 90º, el lado QP NO es igual a los anteriores y los otros ángulos tampoco son 90º. Luego el planteamiento del problema del hilo es incorrecto. Únicamente en el caso de que cada tramo recorrido fuera de 5.400 millas=90º llegarías de nuevo al punto de partida, los tres ángulos serían de 90º y el triángulo esférico equilátero

Si te empeñas en hacer la Tierra plana, con la ayuda de una carta Mercator por ejemplo, y giras 90º sobre la carta a la derecha, después del giro SI tendrás rumbo OESTE=270º, llegarás a un punto r, o a otro cualquiera del paralelo Qr y, si vuelves a girar 90º sobre la carta a la derecha. al final de recorrer una distancia igual a la primera PR, llegarás al punto de partida.

Pero los puntos PQr NO definen un triángulo esférico (porque el lado Qr NO es arco de círculo máximo. La derrota es loxodrómica, que en sus tramos PQ y rP coincide con la ortodrómica.

Respecto a algunas otras cosas que se han dicho a lo largo del hilo, voy a permitirme comentarlas en conjunto con una cita a mazarredo, como ‘culpable’ de iniciar el hilo y por favor ruego perdón a todos, pero el obligarme a pensar tanto tiene estas consecuencias.

Originalmente publicado por mazarredo

El triángulo equilatero con 3 angulos de 90º solo se puede dar en una esfera (se cumple, al igual que en el plano que a lados iguales se oponen angulos iguales), y la única manera de cerrar el triángulo es en uno de los dos casquetes, la distancia puede ser cualquiera, siempre que se cumpla que los tres "rumbos" tengan la misma magnitud.

La segunda parte el FALSO, en sus dos afirmaciones, primero porque los tres ángulos serán de 90º SOLO si los lados miden 90º=5.400 millas, segundo porque existen infinitos triángulos esféricos equiláteros sobre la Tierra con esta condición, y tercero porque cualquier recorrido por un triángulo esférico partiendo desde cualquier punto que tenga sus tres tramos iguales será equilátero y volverás al punto de partida… sólo que los ángulos de giro NO serán de 90º (con la excepción anterior).


Ruego de nuevo mil perdones y gracias a mazarredo por el hilo que, a mi al menos, me ha obligado a pensar y me ha permitido aclarar unas cuantas ideas.

Saludos