OT: El problema de las tres Puertas

[Lechuck]

Estimados Cofrades,

recientemente he recibido en un correo electrónico una historia sobre una paradoja matemática que me ha parecido muy interesante y quería compartirla con vosotros. Sé que existen multitud de historias similares en Internet, pero ésta me ha parecido excelente por su simplicidad y por su 'aparente' incongruencia. Os pongo la historia completa porque creo que merece la pena. Espero que la disfrutéis.

Unas birras para que no se os quede seco el gaznate porque es un poco largo...

El Libro Guinnes de los Récords mantuvo hasta 1989 una categoría llamada “Persona con mayor Cociente Intelectual”. Durante los últimos tres años de existencia oficial de este récord, el título recayó en manos de la misma persona. Con 228 puntos, la escritora canadiense Marilyn vos Savant fue, de 1986 a 1989, la merecedora de este honor. Gracias al Libro Guinnes, Savant alcanzó cierta fama en Norteamérica y la revista Parade le ofreció trabajo como columnista semanal.

Comenzó en 1986 y su sección llegó a ser un auténtico fenómeno social en Estados Unidos. Muchos de los libros de Savant son recopilaciones de sus artículos. La columna semanal se llama Ask Marilyn (Pregúntale a Marilyn); en ella Marilyn ejerce de señorita Francis intelectual y responde a cualquier duda que los lectores le pongan delante. Física, bricolaje, genética, cocina, matemáticas, consejos personales. Lo que sea. A lo largo de los años Marilyn se ha atrevido con todo. Así, no es de extrañar que en algunas ocasiones sus respuestas hayan causado cierta polémica y en otras directamente hayan sido erróneas. Pero hubo una columna que destacó sobre las demás debido a la enorme repercusión que tuvo la respuesta de la señora Savant. Mas de diez mil cartas llegaron a su dirección, todas con el mismo objetivo: decirle que estaba equivocada. Y no todos los remitentes lo hacían de buenas maneras. Marilyn fue ridiculizada por varios profesores de universidad que escribieron artículos mofándose de la respuesta publicada en Parade. Pregunta y respuesta recibieron el nombre de El Problema Monty Hall

La pregunta

La pregunta del lector estaba basada en un conocido concurso norteamericano llamado Let´s Make a Deal (Hagamos un trato) El programa, presentado siempre por el showman Monty Hall, estuvo en antena desde 1963 hasta 1991, aunque no de forma ininterrumpida. Durante la fase final los concursantes tenían ante ellos tres puertas entre las que debían escoger una. Tras una de las puertas estaba escondido el premio gordo, mientras que las otras dos estaban vacías. La cuestión enviada a Parade partía de una situación que se daba cada semana en el concurso:

Imaginemos que estamos en la fase final de Let´s Make a Deal y tenemos ante nosotros las tres puertas. Monty nos informa de que tras una de ellas se esconde un impresionante Ferrari (o un apartamento en Torrevieja o lo que sea que dieran como premio en ese concurso). Por supuesto, tras las otras dos nos espera el fracaso absoluto. Cuando hemos elegido una de las puertas, da igual cual, Monty se acerca a una de las otras dos y la abre. Dentro no hay nada (Es importante mencionar que Monty siempre abría una puerta y que tras ella nunca había nada. En otras palabras, él sabía en qué puerta estaba el premio y su objetivo era dejar siempre la elección de una entre dos puertas). Ahora quedan dos puertas cerradas. Monty nos hace una oferta: podemos quedarnos con la puerta que hemos elegido o cambiarla por la otra. ¿Cómo tendríamos más posibilidades de ganar el Ferrari, cambiando la puerta o manteniendo la que escogimos al principio?

La respuesta

Parece una pregunta bastante estúpida. Si solo hay dos puertas, una con premio y otra no, esta claro que da igual la puerta que escojamos. Siempre tendremos un cincuenta por cien de posibilidades de ganar. Pero no fue eso lo que Marilyn vos Savant respondió al lector de Parade. Según la inteligente columnista, si cambiamos la puerta que escogimos al principio por la que nos ofrece Monty Hall tendremos dos tercios de posibilidades de ganar el Ferrari; mientras que si nos quedamos con la primera puerta tan solo tendremos un tercio.

La reacción a la respuesta de Marilyn no se hizo esperar. Como he dicho, recibió miles de cartas de lectores ofendidos por su ignorancia. Mas de mil de esas cartas estaban escritas por doctores, matemáticos en su mayoría, que consideraban indignante el error de Savant y le pedían que rectificase. Estos son algunos fragmentos de las cartas recibidas:

“La jodiste”

“Deja que me explique: si se enseña una puerta perdedora, esa información cambia la probabilidad de cualquier elección mantenida, ninguna de las cuales tiene ninguna razón para ser mayor a 1/2. Como matemático profesional, estoy muy preocupado por la falta de habilidad matemática del público en general. Por favor, ayuda confesando tu error y, en el futuro sé más prudente”

“¿Cuántos matemáticos furiosos se necesitan para cambiar tu opinión?”

“Si todos esos doctores están equivocados el país se encontraría en graves problemas” afirmaban desde el U.S. Army Research.

“Eso es imposible” dijo el gran matemático Paul Erdös al conocer lo que Marilyn había dicho.

Pero Marilyn no se retractaba. Estaba convencida de su respuesta, de hecho no tenía la más mínima duda de que era la correcta y ni se le pasaba por la cabeza rectificar.

La solución

Está claro que o bien el 95% de los estadounidenses, incluyendo a importantes matemáticos, estaban en un error o lo estaba Marilyn. ¿Quién cometió el traspié en esta historia?

Este fue un ejemplo perfecto para ponernos en guardia frente a la falacia de autoridad. Por más expertos que sacaran las uñas y mostrasen sus títulos para refutar a la escritora, lo cierto es que Marilyn tenía razón y todos ellos estaban equivocados. Si cambias de puerta tienes 2/3 de posibilidades de ganar el Ferrari mientras que si conservas la puerta original tus posibilidades son tan sólo de 1/3.

No soy experto en matemáticas así que probablemente la explicación que voy a dar del Problema de Monty Hall no es muy rigurosa pero espero que se entienda bien. Bien, ¿dónde está el truco? Lo cierto es que en ningún lado, no hay truco. Basta con cambiar la pregunta que realizó el lector por esta otra: “¿Cómo tengo más probabilidades de ganar el Ferrari, eligiendo una puerta o dos?” No estamos cambiando una puerta por otra, estamos cambiando la posibilidad de que el premio esté en una puerta por la posibilidad de que esté en dos. No importa que Monty abra una de las puertas, eso no cambia nada.

El físico Leonard Mlodinow utiliza un método muy simple para el explicar el problema. Multiplicar las cajas. ¿Y si en lugar de tres cajas hubiera cien? Elegimos una puerta y Monty abre noventa y ocho de las noventa y nueve restantes dejando tan solo una cerrada. ¿Cambiaríamos en ese caso de puerta? Seriamos estúpidos si no lo hiciéramos. Si cambiamos la puerta estamos apostando a que estará entre las noventa y nueve que no elegimos al principio, estén abiertas o cerradas. Con tres puertas es exactamente igual, si cambiamos de puerta estamos apostando a que el premio estaba en una de las dos que no elegimos, aunque Monty haya abierto una de ellas.

Para los que aún no se lo creían y seguían diciendo que Marilyn estaba equivocada existía una solución muy fácil. Una que no engaña nunca. La realidad. Bastó echar un vistazo a las estadísticas del concurso para comprobar que aquellos concursantes que cambiaron de caja ganaron el premio 2/3 de las veces, mientras que los que se quedaron con su primera elección sólo lo hicieron 1/3 de las veces.

Finalmente, y tras no pocas explicaciones, no fue Marilyn la que tuvo que rectificar sino todos los doctores que dijeron que se equivocaba.

[Butxeta]

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall

[olaje]

Esa Marilyn es inteligente de verdad

Me gustan los 'divertimentos matemáticos', como los llaman Les Luthiers.

Salu2. Carmelo ( O L A J E )

[Chiqui]

Y a mí que me gusta este ferrari, el mugello.
No me extraña nada que se enfaden los del un dos,tres.(puertas)
Nada era solo saludar.

[jazz]

muy bueno y sencillo de plantear, mientras la avaricia no te vicie...

[artur23]

Uff !! demasiao para mi. Y no será que las 2/3 partes de los humanos (o de los estadounidenses) tenemos que rectificar para acertar?

[Thomas_Keefer]

Originalmente publicado por Chiqui

Y a mí que me gusta este ferrari, el mugello.
No me extraña nada que se enfaden los del un dos,tres.(puertas)
Nada era solo saludar.

¡¡¡ sacrilegio !!!! un ferrari que no es rojo !!! ¡¡¡que ruede la cabeza de alguien!!!

[Chiqui]

Que tiene rojo y eso vale¡¡¡¡¡¡¡
Salud

[Valento]

hay gente pa to

[Embat]

Chemamoreno está preparando unos boquerones, o en la cama con gripe, o qué sé yo... así que le voy a parafrasear...

LA GALLINA!!


Embat

[Greisa]

Más lista que el hambre!

[Crimilda]

Originalmente publicado por Embat

Chemamoreno está preparando unos boquerones, o en la cama con gripe, o qué sé yo... así que le voy a parafrasear...

LA GALLINA!!


Embat

¡Huy que peligrooosoooo, lo que has dicho!

No digo lo que sigue que luego me odias.

[juan_navegante]

Hola:

Veo que las respuestas a este hilo son todas en clave de humor, pero no hay ninguna que trate de demostrar matemáticamente la tesis de la autora o las contrarias.

Como soy aficionado a este tipo de problemas y este en concreto ha despertado mi interés, me voy a permitir exponer una demostración matemática a favor de la tesis de Marilyn.


En la primera elección hay las siguientes probabilidades:

Probabilidad de Acertar 1/3

[juan_navegante]

Continúo:

Probabilidad de puerta vacía 2/3.

La suma de ambas probabilidades da uno, como no podría ser de otro modo.


Ahora viene la parte más sutil de la demostración.


Después de la segunda elección hay dos posibilidades opuestas, cuya suma debe ser igualmente 1.


Mantener la primera elección, o cambiar.


Analicemos la primera opción. Las probabilidades son las de la primera elección. es decir 1/3 de acertar y 2/3 de fallar.

El cambiar de puerta significa complementar las opciones anteriores, es decir si el concursante cambia de puerta estando premiado, perderá con una probabilidad de 1/3

pero si su opción era errónea, al cambiar ganará con una opción 2/3

suma 1/3 + 2/3 = 1



Disculpar el rollo al que no le atraigan estos temas

Juan

[Lechuck]

Efectivamente, si el concursante no cambia de puerta, estará apostando a que su primera elección era correcta y mantendrá la probabilidad de 1/3, mientras que si cambia de puerta, estará apostando a que su elección inicial era errónea y, por tanto, su probabilidad de acertar será de 2/3 (las dos puertas que no eligió al principio).

[vinci]

Originalmente publicado por juan_navegante

Continúo:
Analicemos la primera opción. Las probabilidades son las de la primera elección. es decir 1/3 de acertar y 2/3 de fallar.

Pues no entiendo que con dos puertas a elegir tengas 1/3 de posibilidades de acertar. Antes, con 3 puertas, sí. Ahora ya no. Dadas las nuevas circunstancias, tus posibilidades acaban de aumentar al 50%, no conservas las antiguas.
Yo soy me posiciono con los que mantienen que da igual cambiar que no hacerlo.

Saludos

[Nepomuceno]

Bonita puerta, suerte en la venta.

[fletxa]

Muy interesante!!

Creo que la clave está en la frase siguiente del artículo en la Wikipedia:

"La elección, básicamente, consiste en preguntarte si prefieres seguir con tu puerta original o escoger las otras dos puertas."

Es decir, que con mi puerta original tengo 1/3 de posibilidades, pero cuando cambio de elección tengo 2/3, porque de hecho abriré 2 puertas (o sea la que me abre el presentador y la nueva puerta elegida).

Bon vent i

[Tahleb]

Pues parece mentira que hubiese tantos matemáticos indignados...

Yo lo veo claro: en el momento de hacer la primera elección, hay el doble de posibilidades de que el premio no esté en la que has elegido, sino en las otras. Cuando el presentador abre la vacía te permite conservar ese doble de posibilidades si cambias.

Así les va con lo de los bancos...

[ROyOR]

Originalmente publicado por Thomas_Keefer

¡¡¡ sacrilegio !!!! un ferrari que no es rojo !!! ¡¡¡que ruede la cabeza de alguien!!!

Ya paso, ya paso, aqui lo tienes

[Nonick]

Creo que el razonamiento que defiende la tesis del cambio de puerta como opción mejor incurre en un error muy habitual en estadística: unir dos hechos independientes. El famoso caso del que siempre viajaba con una bomba cuando iba en avión.

La opción siempre va a ser entre dos puertas, al final el presentador abre una puerta que no tiene premio luego vamos a elegir entre dos puertas, una que elegimos al principio y otra que no.

Está claro que la elección primera es con 1/3 de posibilidades, pero esa elección es indiferente de la que se plantea después al 50%.

Da igual que la primera elección sea con un millón de puertas, elijamos la que elijamos después tendremos una segunda elección entre dos puertas al 50%.

Sobre las estadísticas del concurso, creo que no son fiables para el estudio matemático ya que influyen otros factores, sobre todo la charla del presentador.

Si alguien sabe y se anima sería interesante que hiciera un programa de simulación para obtener resultados realemnte aleatorios, a ver que pasa.

[Lechuck]

En realidad la clave está en que los dos sucesos no son independientes. El presentador sabe dónde está el premio por lo que siempre va a abrir una puerta que no tiene premio. Así que lo que al final apostamos, si cambiamos de puerta, es que en la primera elección no habíamos acertado, y esa elección tiene 2/3 de probabilidades de ser cierta.

Existen varios simuladores en Internet.

En este puedes seleccionar el número de puertas y las iteraciones y, al final, en la parte de abajo a la izquierda, te muestra el resultado:
http://www.aulademate.com/contentid-315.html

En este lo puedes ir haciendo de forma gráfica. Si lo haces un número de veces suficiente, verás cómo los resultados se aproximan a 2/3 si cambias de puerta y a 1/3 si no cambias.
http://www.estadisticaparatodos.es/t...montyhall.html

Unas

[Nonick]

el primer simulador debe estar mal programado: si se ponen dos puertas (caso imposible) da unos resultados próximos al 50%

[Nonick]

No entieno la explicación formulada, pero me da la sensación de que las simulaciones están hechas "al reves", parte de una premisa, la formula y la mete en el programa.

Yo no se programar en nada, pero creo que sería algo así:
Deternimar tres posibilidades
Elegir una al azar (posibilidad premiada)

Supongamos que el concursante siempre elige la uno:
Si la posibilidad premiada es uno, abre, elegida al azar, una de las dos otras puertas
Si la posibilidad premiada no es uno, abre la puerta vacía

Supongamos que no cambiamos nunca de puerta

Si uno es premiada: premio
Si uno no es premiada: fracaso

Esto debería dar un 50% (o un 33,3%) de premios.

Si suponemos que siempre cambiamos de puerta:
Si uno es premiada: fracaso
Si uno no es premiada: premio

Esto debería dar un 50% (o un 66,66 %) de premios

[Nonick]

Al leer lo anterior me he dado cuenta de que tal y como lo planteo, la posibilidad de ganar al no cambiar de puerta es de un tercio, la elección inicial. Luego la de ganar en la posibilidad contraria (cambiar de puerta) es de dos tercios.

El toque está en que el presentador no puede abrir la puerta elegida por tí, aunque esta no tenga premio.

Me he convencido