Catenaria y fondeo

[Mascocó]

El estudio completo de la línea de fondeo.

Voy a plantear la resolución de una línea de fondeo más complicada que lo que hemos visto hasta ahora, concretamente una dividida en dos trozos de diferente o igual peso unitario y colgando en su unión un cierto peso, y que además considere el caso en que la fuerza horizontal aplicada supera a la que forma la catenaria límite, es decir, cuando aparece fuerza vertical en el ancla.

Lo haré dividiendo el análisis en el de cada trozo de línea, que en este caso no tendrán que formar una catenaria completa sino dos arcos de catenaria, no presentaré un nuevo dibujo, pero creo que se entenderá si haceis referencia a los anteriores de la catenaria.

A cada uno de los trozos de línea le podré aplicar las siguientes ecuaciones de la catenaria:

siendo:

x es la distancia horizontal desde el origen de la catenaria completa al punto
y es la distancia vertical desde el origen de la catenaria completa al punto
FH la fuerza horizontal que forma la catenaria
FV(x) la fuerza vertical en el punto x
p el peso unitario por unidad de longitud

La ecuación general de la curva: y(x)= (FH/p).[cosh(p.x/FH)-1]

y su derivada: y’(x)= sinh(p.x/FH)

Esta última expresa la pendiente de la curva en el punto de abcisa x, que, como sabemos, coincide con la tangente del ángulo z(x) que forma la pendiente en el punto con la horizontal, es decir:

y’(x)= tg[z(x)]

como tg[z(x)]= FV(x)/FH

sinh(p.x/FH)= FV(x)/FH y, despejando x,

x= (FH/p).asinh[FV(x)/FH]

para un cierto tramo de catenaria, de valores de x x1 y x2 resulta:

y(x2)-y(x1)= (FH/p).[cosh(p.x2/FH) - cosh(p.x1/FH)]

donde:

x2= (FH/p).asinh[FV(x2)/FH]
x1= (FH/p).asinh[FV(x1)/FH]

si definimos:

at= y(x2)-y(x1)
X2= asinh[FV(x2)/FH]
X1= asinh[FV(x1)/FH]

nos queda:

at= (FH/p).[cosh(X2) - cosh(X1)]

donde:

at es la altura del tramo de catenaria estudiado
FV(x2) la fuerza vertical en su extremo superior
FV(x1) la fuerza vertical en su extremo inferior
FH la fuerza horizontal, la misma en todos los puntos (en nuestro caso es la que ejerce el viento sobre la embarcación)
p el peso por unidad de longitud

En nuestro caso estamos estudiando dos tramos de catenaria unidos que definimos como de alturas ar y ac, pesos unitarios pr y pc y longitudes Lr y Lc, luego:

Xr2= asinh[FV(xr2)/FH]
Xr1= asinh[FV(xr1)/FH]
ar= (FH/pr).[cosh(Xr2) - cosh(Xr1)]

Xc2= asinh[FV(xc2)/FH]
Xc1= asinh[FV(xc1)/FH]
ac= (FH/pr).[cosh(Xc2) - cosh(Xc1)]

Si nuestra altura total (ya sabemos, profundidad+altura roldana) es a:

a-ar-ac=0

Veamos ahora qué es lo que conocemos de todo esto. Para el primer tramo de la línea, desde la roldana, el de longitud Lr, tenemos, llamando M al peso colgado al final del tramo:

FV(xr2)= pr.Lr+M+pc.Lc+FVa
FV(xr1)= M+pc.Lc+FVa

Para el segundo tramo, el que llega hasta el ancla:

FV(xc2)= pc.Lc+FVa
FV(xc1)= FVa

FVa es la fuerza vertical en el ancla.
FHa= Fv= FH es la fuerza horizontal en el ancla.

Con esto obtenemos una expresión para a-ar-ac=0 en función de FHa y FVa, dando valores a una de estas dos incógnitas obtenemos, es decir, la función Solver obtiene, mediante iteraciones la otra.