OT: El problema de las tres Puertas

[Lechuck]

Estimados Cofrades,

recientemente he recibido en un correo electrónico una historia sobre una paradoja matemática que me ha parecido muy interesante y quería compartirla con vosotros. Sé que existen multitud de historias similares en Internet, pero ésta me ha parecido excelente por su simplicidad y por su 'aparente' incongruencia. Os pongo la historia completa porque creo que merece la pena. Espero que la disfrutéis.

Unas birras para que no se os quede seco el gaznate porque es un poco largo...

El Libro Guinnes de los Récords mantuvo hasta 1989 una categoría llamada “Persona con mayor Cociente Intelectual”. Durante los últimos tres años de existencia oficial de este récord, el título recayó en manos de la misma persona. Con 228 puntos, la escritora canadiense Marilyn vos Savant fue, de 1986 a 1989, la merecedora de este honor. Gracias al Libro Guinnes, Savant alcanzó cierta fama en Norteamérica y la revista Parade le ofreció trabajo como columnista semanal.

Comenzó en 1986 y su sección llegó a ser un auténtico fenómeno social en Estados Unidos. Muchos de los libros de Savant son recopilaciones de sus artículos. La columna semanal se llama Ask Marilyn (Pregúntale a Marilyn); en ella Marilyn ejerce de señorita Francis intelectual y responde a cualquier duda que los lectores le pongan delante. Física, bricolaje, genética, cocina, matemáticas, consejos personales. Lo que sea. A lo largo de los años Marilyn se ha atrevido con todo. Así, no es de extrañar que en algunas ocasiones sus respuestas hayan causado cierta polémica y en otras directamente hayan sido erróneas. Pero hubo una columna que destacó sobre las demás debido a la enorme repercusión que tuvo la respuesta de la señora Savant. Mas de diez mil cartas llegaron a su dirección, todas con el mismo objetivo: decirle que estaba equivocada. Y no todos los remitentes lo hacían de buenas maneras. Marilyn fue ridiculizada por varios profesores de universidad que escribieron artículos mofándose de la respuesta publicada en Parade. Pregunta y respuesta recibieron el nombre de El Problema Monty Hall

La pregunta

La pregunta del lector estaba basada en un conocido concurso norteamericano llamado Let´s Make a Deal (Hagamos un trato) El programa, presentado siempre por el showman Monty Hall, estuvo en antena desde 1963 hasta 1991, aunque no de forma ininterrumpida. Durante la fase final los concursantes tenían ante ellos tres puertas entre las que debían escoger una. Tras una de las puertas estaba escondido el premio gordo, mientras que las otras dos estaban vacías. La cuestión enviada a Parade partía de una situación que se daba cada semana en el concurso:

Imaginemos que estamos en la fase final de Let´s Make a Deal y tenemos ante nosotros las tres puertas. Monty nos informa de que tras una de ellas se esconde un impresionante Ferrari (o un apartamento en Torrevieja o lo que sea que dieran como premio en ese concurso). Por supuesto, tras las otras dos nos espera el fracaso absoluto. Cuando hemos elegido una de las puertas, da igual cual, Monty se acerca a una de las otras dos y la abre. Dentro no hay nada (Es importante mencionar que Monty siempre abría una puerta y que tras ella nunca había nada. En otras palabras, él sabía en qué puerta estaba el premio y su objetivo era dejar siempre la elección de una entre dos puertas). Ahora quedan dos puertas cerradas. Monty nos hace una oferta: podemos quedarnos con la puerta que hemos elegido o cambiarla por la otra. ¿Cómo tendríamos más posibilidades de ganar el Ferrari, cambiando la puerta o manteniendo la que escogimos al principio?

La respuesta

Parece una pregunta bastante estúpida. Si solo hay dos puertas, una con premio y otra no, esta claro que da igual la puerta que escojamos. Siempre tendremos un cincuenta por cien de posibilidades de ganar. Pero no fue eso lo que Marilyn vos Savant respondió al lector de Parade. Según la inteligente columnista, si cambiamos la puerta que escogimos al principio por la que nos ofrece Monty Hall tendremos dos tercios de posibilidades de ganar el Ferrari; mientras que si nos quedamos con la primera puerta tan solo tendremos un tercio.

La reacción a la respuesta de Marilyn no se hizo esperar. Como he dicho, recibió miles de cartas de lectores ofendidos por su ignorancia. Mas de mil de esas cartas estaban escritas por doctores, matemáticos en su mayoría, que consideraban indignante el error de Savant y le pedían que rectificase. Estos son algunos fragmentos de las cartas recibidas:

“La jodiste”

“Deja que me explique: si se enseña una puerta perdedora, esa información cambia la probabilidad de cualquier elección mantenida, ninguna de las cuales tiene ninguna razón para ser mayor a 1/2. Como matemático profesional, estoy muy preocupado por la falta de habilidad matemática del público en general. Por favor, ayuda confesando tu error y, en el futuro sé más prudente”

“¿Cuántos matemáticos furiosos se necesitan para cambiar tu opinión?”

“Si todos esos doctores están equivocados el país se encontraría en graves problemas” afirmaban desde el U.S. Army Research.

“Eso es imposible” dijo el gran matemático Paul Erdös al conocer lo que Marilyn había dicho.

Pero Marilyn no se retractaba. Estaba convencida de su respuesta, de hecho no tenía la más mínima duda de que era la correcta y ni se le pasaba por la cabeza rectificar.

La solución

Está claro que o bien el 95% de los estadounidenses, incluyendo a importantes matemáticos, estaban en un error o lo estaba Marilyn. ¿Quién cometió el traspié en esta historia?

Este fue un ejemplo perfecto para ponernos en guardia frente a la falacia de autoridad. Por más expertos que sacaran las uñas y mostrasen sus títulos para refutar a la escritora, lo cierto es que Marilyn tenía razón y todos ellos estaban equivocados. Si cambias de puerta tienes 2/3 de posibilidades de ganar el Ferrari mientras que si conservas la puerta original tus posibilidades son tan sólo de 1/3.

No soy experto en matemáticas así que probablemente la explicación que voy a dar del Problema de Monty Hall no es muy rigurosa pero espero que se entienda bien. Bien, ¿dónde está el truco? Lo cierto es que en ningún lado, no hay truco. Basta con cambiar la pregunta que realizó el lector por esta otra: “¿Cómo tengo más probabilidades de ganar el Ferrari, eligiendo una puerta o dos?” No estamos cambiando una puerta por otra, estamos cambiando la posibilidad de que el premio esté en una puerta por la posibilidad de que esté en dos. No importa que Monty abra una de las puertas, eso no cambia nada.

El físico Leonard Mlodinow utiliza un método muy simple para el explicar el problema. Multiplicar las cajas. ¿Y si en lugar de tres cajas hubiera cien? Elegimos una puerta y Monty abre noventa y ocho de las noventa y nueve restantes dejando tan solo una cerrada. ¿Cambiaríamos en ese caso de puerta? Seriamos estúpidos si no lo hiciéramos. Si cambiamos la puerta estamos apostando a que estará entre las noventa y nueve que no elegimos al principio, estén abiertas o cerradas. Con tres puertas es exactamente igual, si cambiamos de puerta estamos apostando a que el premio estaba en una de las dos que no elegimos, aunque Monty haya abierto una de ellas.

Para los que aún no se lo creían y seguían diciendo que Marilyn estaba equivocada existía una solución muy fácil. Una que no engaña nunca. La realidad. Bastó echar un vistazo a las estadísticas del concurso para comprobar que aquellos concursantes que cambiaron de caja ganaron el premio 2/3 de las veces, mientras que los que se quedaron con su primera elección sólo lo hicieron 1/3 de las veces.

Finalmente, y tras no pocas explicaciones, no fue Marilyn la que tuvo que rectificar sino todos los doctores que dijeron que se equivocaba.