Problema de Trigonometría esférica (geometria descriptiva)

[mazarredo]

Primero que nada, y para ponernos en cuestion, por favor, Tabernero, ponga unas birras aqui a los colegas.

Enunciado del problema:

Un cazador sale de caza desde un punto determinado de la Tierra, avanza 20 millas hacia el sur y no encuentra nada que cazar, gira 90º exactos a su derecha, avanza otras 20 millas y tampoco encuentra ninguna presa, gira entonces 90º exactos a su derecha, avanza otras 20 millas, y se encuentra exactamente en el mismo lugar de donde salió y mata un animal ¿De que color es más probable que sea el pelo del animal (la capa), y razonar el por que?.

Este problema parece una chorrada para pasar el rato, pero realmente tiene una solución matemática y es serio. Hace años cuando estudié geometría descriptiva era uno de los ejercicios que nos pusieron. Por favor, los CY, abstenganse de dar muy pronto la solución, ya que pretendo que sirva como una manera amena de que las personas sin formación geométrica avanzada comprendan un poco mejor como va esto de la posición de un punto sobre una esfera.

Bueno, al primer PER o PNB que conteste, tiene un año de birras virtuales pagadas en la taberna.

Un saludo a todos

[mazarredo]

Perdón, me acabo de dar cuenta que no se si hay que pedir permiso para poner un mensaje en un foro determinado, ya que llevo poco en la taberna, si he hecho algo incorrecto, por favor, el moderador correspondiente, que retire el hilo.

Gracias.

[Polizón]

Jeje, no soy capitán, pero me presento a teoría y cálculos el próximo fin de semana, así pues no contestaré, si bién la solución matemática completa puede ser compleja, a simple vista parece muy elemental.
(Son animales con mucho tocino, y no viven en las dehesas extremeñas).
Saludos.

[ese tipo]

Creo que el pelaje es blanco o claro si es mamífero porque lo que posiblemente ha recorrido el cazador es una porción del casquete esferico polar y partiendo del mismísimo polo norte geográfico.
Grog para todos y ron al que se lo merezca.

[sundancekid]

El pelo es blanco y esta en el polo norte magnetico o geografico dependieno de si los rumbos que ha seguido son magneticos o geograficos.

[Gladiador]

En teoría, solo en teoría, porque hay mucho truco en estos "pasatiempos", nada tiene que ver el color del pelaje del animal "asesinado" con la solución del problema.

De hecho el "pasatiempos" puede salir (y en temario está) en algún examen de CY.

Saludos.

José

[mazarredo]

mmmmm, veamos....., en principio, cervezas o lo que gusten tomar los aqui presentes.

No se si sale en el temario de CY o no, hace años era un problema de los que nos ponían en Geometría Descriptiva, no se como se llamará la asignatura con los nuevos planes de estudios, pero si tiene que ver el pelaje del animal con la solución y solo se da en una zona esférica las condicionantes del problema.

Es un triángulo equilátero, pero con los ángulos de 90º, la solución pasa por la pista "Llega exactamente al lugar de donde salió", a nosotros no nos daban la pista "comienza a caminar hacia el Sur". Y efectivamente, ese caso solo se da en el Polo Norte, por lo que lo más probable es que el mamífero sea de color blanco. La segunda parte del problema consistía en apoyar ese triángulo sobre sus tres vértices en un plano y proyectar las trayectorias, y entonces... MILAGRO, los ángulos de 90º se convierten en 60º creando la proyección el triángulo equilatero que hemos estudiado en geometría plana.

Este hilo, pretendia ser una manera amena de provocar el pensamiento en 3D, pero veo que no ha tenido mucha acogida.

para todos

[Bou Fort]

A ver vamos por partes:
Primero y principal; Tabernero unas rondas para todos!

Segundo y secundario: yo he propuesto el mismo problema en otro foro (forito) y se ha solucionao rápido, rápido

El "poblema" tiene una solución singular e infinitas soluciones "normales"
bastante distanciadas en "la esfera terrestre"

La solución singular (el pelaje del animal asesinado) está bastante claro!
loque ya no está tant calro es si en el lugar de las "soluciones normales" hay animales de este tipo, en tal caso el cazador es un mentiroso!

(de todas formas creo que hay que respetar la diversidad de animlaes en el planeta y no asesinarlos a troche y noche!! )

A todos los PER y PY a ver si dais con la solución

[Yofloto]

Cofrades, creo que el oso no tiene que ser blanco...

Y creo que hay infinitos puntos en la esfera donde se da el caso planteado en el inicio de este post.

Como ejemplo...



En general, basta recorrer en dirección N ó S, según se esté en el hemisferio N ó S una distancia igual al apartamiento de todo el paralelo de la latitud de llegada.

Yo creo que lo he demostrado.

Si estoy equivocado me lo demuestren sus señorías... que de la discusión nace la luz...

[mazarredo]

Efectivamente, ese es un caso particular, en el que los dos lados del triangulo se "montan" uno sobre otro, pero el oso seguiría siendo blanco, ya que los giros son "a derechas", por lo que necesariamente debes partir del Polo o cercano a él para volver a encontrarte exactamente en el mismo punto.

esto se está animando. De esta me regalan galones como en los "tupper-parties", jajajajajajaja

[Yofloto]

Estimados Cofrades.

Ando yo un poco espeso estos últimos años...

Antes apunté que habría que mirar esta cuestión desde el prisma de círculos máximos...





Manda huevos.
Pues eso, que si cambiamos sucesivamente el rumbo 90º, recorriendo la misma distancia en cada uno de esos rumbos, llegamos al punto de partida.
El problema está en que esos rumbos son ortodrómicos, y los únicos que se pueden seguir sin cambiar constantemente de dirección respecto del PN son los de los meridianos y los del ecuador (el otro círculo máximo "normalizado" y sus círculos menores paralelos).

En mi descargo he de decir que... yo que sé. Me hago mayor.

Saludos.

[Kumbaya]

Aquí un paréntesis a la trigonometría
Pasatiempos parecido:
Una persona se construye una casa con cuatro paredes. Las cuatro paredes miran al sur. Un día pasa por delante de su ventana un oso.
¿De qué color es el oso?
(La misma respuesta: Blanco porque está en el polo norte magnético y es un oso polar.)
Acaba paréntesis.

[krexala]

Yo me lo sabia con algun dato mas, decia asi :
Un cazador sale de caza desde un punto determinado de la Tierra al amanecer del dia de su santo avanza 20 millas hacia el sur ......
y acababa por preguntar tambien como se llamaba el fulano.

[Mascocó]

Originalmente publicado por mazarredo

Un cazador sale de caza desde un punto determinado de la Tierra, avanza 20 millas hacia el sur y no encuentra nada que cazar, gira 90º exactos a su derecha, avanza otras 20 millas y tampoco encuentra ninguna presa, gira entonces 90º exactos a su derecha, avanza otras 20 millas, y se encuentra exactamente en el mismo lugar de donde salió y mata un animal ¿De que color es más probable que sea el pelo del animal (la capa), y razonar el por que?.

Vamos a ver cuánto meto la pata yo, porque la verdad es que ya me he liado un par de veces.

En primer lugar, si en el planteamiento solo hay una restricción, empezar caminando al sur, y los otros condicionantes son andar X distancia y girar 90º, yo me pregunto... si haces exactamente lo mismo, andar y girar respecto a ti mismo y hablamos de una esfera perfecta, ¿por qué la situación relativa inicio/final va a ser diferente?, es decir ¿qué diferencia hay entre el punto "polo norte" y otro punto cualquiera de la esfera?, pués ninguno, me respondo yo, en este caso la definición norte-sur en todo caso.

Así, la distancia y orientación relativas entre el punto inicial y el final serán las mismas salgas del punto de la esfera terrestre que salgas. El único condicionante que pone el enunciado es que empiezas caminando hacia el sur, lo cual quiere decir solamente que el único punto desde el que no puedes salir es el polo sur. Cualquier otro cumple la condición de empezar caminando hacia el sur. Si estás en una latitud sur más alta de 89º40'S lo único que ocurrirá será que, en el primer recorrido, atravesarás el polo sur y seguirás caminando, pero nada más. Si la condición fuera “caminar hacia el sur durante todo el primer tramo” tendrías que salir de una latitud menor de los 89º40'S para cumplirla.

Ahora, ¿a dónde nos llevan los tres recorridos?, pués desde luego, con 20 millas de camino en cada tramo, al punto de salida no. Girar 90º exactos significa continuar tu recorrido al final de cada tramo por la circunferencia de circulo máximo exactamente perpendicular a la también circunferencia de círculo máximo por donde venías (la condición de empezar hacia el sur impone empezar a caminar por un meridiano, que es circunferencia de círculo máximo). Y desde luego, si sales del polo norte, no continúas caminando por el paralelo de latitud 89º40’ N. Ahora mismo sólo veo el caso de que salgas de un punto de latitud 0º20’N para que continúes por un paralelo, en este caso el Ecuador.

Es decir, estás siguiendo un rumbo ortodrómico, con lo que, si fuera verdad que volvieras al punto de partida y has girado dos veces con el mismo ángulo, el triángulo esférico que se forme deberá ser equilátero. Y quiero entender por equilátero, en un triángulo esférico también, el que tenga lados iguales y ángulos iguales.

Entonces, si aplico la ley de los cosenos a los dos primeros tramos y al ángulo que forman (tramos a,b y ángulo C entre ellos) resulta para el tercer tramo c:
cos(c)=cos(a)cos(b)+sen(a)sen(b)cos(C)

Para a=b=20' y C=90º
c=0,4714....º= 28,284... millas

es decir, independientemente de que el segundo giro no sería de 90º la distancia a recorrer tampoco sería de 20 millas. Si caminas 20 millas no se cierra el triángulo... no se llega al punto de partida.

Hay un único caso en que los dos giros de 90º dan el resultado apetecido, volver al punto de partida, y es recorrer 90º de circunferencia es decir 5.400 millas, total pa ná. Y esto ocurrirá partiendo de cualquier punto de la esfera. Menos del polo sur claro, ya que no podemos caminar más al sur del sur.

Otra manera de verlo, ¿Qué ángulo hay que girar para llegar al punto de partida?. Pués depende de la longitud de los tramos, evidentemente, cuanto más pequeños sean más se aproximarán a los 60º (mayor aproximación a la geometría plana), y cuanto más grandes más a los 90º, por ejemplo:
En este caso el problema se expresa por:
cos(A)=(cos(t)-cos(t)^2)/sen(t)^2

Tramos de t=20 millas, ángulos de 60.00028…º.
Tramos de t=40º= 2.400 millas, ángulos de 64.3…º.
Tramos de t=70º= 4.200 millas, ángulos de 75.2…º.

Para que se cumpla el objetivo del problema, averiguar que vuelves al mismo punto, el planteamiento, que es como yo lo había oído hace 100 años, sería, más o menos:

Un cazador anda X kilómetros hacia el sur, X kilómetros hacia el este y X km. hacia el norte, pega un tiro y mata a un oso, ¿de qué color es el oso?.

Entonces, y fijaros que la distancia recorrida en el segundo tramo da igual, el único punto sí es el polo norte y el oso debería ser (que nunca se sabe hoy en día el pelaje de cada cuál), blanco.

Espero que no tenga que ponerme el traje de aguas.

Saludos