Problema de Trigonometría esférica (geometria descriptiva)

[mazarredo]

mmmmm, veamos....., en principio, cervezas o lo que gusten tomar los aqui presentes.

No se si sale en el temario de CY o no, hace años era un problema de los que nos ponían en Geometría Descriptiva, no se como se llamará la asignatura con los nuevos planes de estudios, pero si tiene que ver el pelaje del animal con la solución y solo se da en una zona esférica las condicionantes del problema.

Es un triángulo equilátero, pero con los ángulos de 90º, la solución pasa por la pista "Llega exactamente al lugar de donde salió", a nosotros no nos daban la pista "comienza a caminar hacia el Sur". Y efectivamente, ese caso solo se da en el Polo Norte, por lo que lo más probable es que el mamífero sea de color blanco. La segunda parte del problema consistía en apoyar ese triángulo sobre sus tres vértices en un plano y proyectar las trayectorias, y entonces... MILAGRO, los ángulos de 90º se convierten en 60º creando la proyección el triángulo equilatero que hemos estudiado en geometría plana.

Este hilo, pretendia ser una manera amena de provocar el pensamiento en 3D, pero veo que no ha tenido mucha acogida.

para todos

[pacoperas]

De hecho, hay infinidad de puntos en la esfera que cumplen la condición de, una vez realizado el recorrido, se vuelve al mismo punto.

Vamos, si el cazador se encuentra en un punto de latitud 89º 36,8' S, cuando recorra 20 millas al sur estará en los 89º56,'S. El paralelo de esta latitud, si no me he equivocado con la calculadora, mide 20 millas, por lo tanto cuando haga 20 millas al norte se encontrará en el mismo punto.

En el polo sur no hay osos polares, pero no tengo idea de qué bichos hay o si hay alguno.

Salud y buenos vientos

[Yofloto]

Originalmente publicado por pacoperas

De hecho, hay infinidad de puntos en la esfera que cumplen la condición de, una vez realizado el recorrido, se vuelve al mismo punto.

Vamos, si el cazador se encuentra en un punto de latitud 89º 36,8' S, cuando recorra 20 millas al sur estará en los 89º56,'S. El paralelo de esta latitud, si no me he equivocado con la calculadora, mide 20 millas, por lo tanto cuando haga 20 millas al norte se encontrará en el mismo punto.

Tal y como lo describes, en efecto; desde cualquier punto de la esfera cuando se recorre una distancia "n" hacia el sur, o hacia el norte, y luego se retrocede por donde se ha venido esa misma distancia "n", se encuentra uno en el lugar de origen.
Pero la cosa no acaba ahí; si desde cualquier punto recorremos una distancia y luego damos media vuelta y regresamos por donde hemos venido recorriendo la misma distancia... ¡TATACHAAAN!... nos encontramos en el punto de partida.


Bromas aparte (porque se entiende perfectamente que se te ha pasado lo del recorrido de 20' sobre el paralelo) , para encontrarnos en el mismo punto de partida una vez recorridas tres distancias iguales en ángulo recto unas respecto de otras, es necesario partir de un polo (de una confluencia de meridianos). De esta forma el recorrido perpendicular al inicial se hace sobre un paralelo, lo que es el otro requisito indispensable.

Peeeeeero, si sólo son iguales las distancias recorridas sobre un meridiano (N-S y S-N) y la distancia recorrida sobre el paralelo es igual a la longitud (en sentido de "lo que mide") de ese paralelo, al final del recorrido estaremos en el punto de partida.

Me parece que esa es la única latitud distinta de 90º y la única distancia (iguales las tres) en la que, al final, uno acaba en el punto de partida.

La verdad es que es una muy buena observación...

Saludos.

[pacoperas]

Originalmente publicado por Yofloto

Tal y como lo describes, en efecto; desde cualquier punto de la esfera cuando se recorre una distancia "n" hacia el sur, o hacia el norte, y luego se retrocede por donde se ha venido esa misma distancia "n", se encuentra uno en el lugar de origen.
Pero la cosa no acaba ahí; si desde cualquier punto recorremos una distancia y luego damos media vuelta y regresamos por donde hemos venido recorriendo la misma distancia... ¡TATACHAAAN!... nos encontramos en el punto de partida.


Bromas aparte (porque se entiende perfectamente que se te ha pasado lo del recorrido de 20' sobre el paralelo) , para encontrarnos en el mismo punto de partida una vez recorridas tres distancias iguales en ángulo recto unas respecto de otras, es necesario partir de un polo (de una confluencia de meridianos). De esta forma el recorrido perpendicular al inicial se hace sobre un paralelo, lo que es el otro requisito indispensable.

Peeeeeero, si sólo son iguales las distancias recorridas sobre un meridiano (N-S y S-N) y la distancia recorrida sobre el paralelo es igual a la longitud (en sentido de "lo que mide") de ese paralelo, al final del recorrido estaremos en el punto de partida.

Me parece que esa es la única latitud distinta de 90º y la única distancia (iguales las tres) en la que, al final, uno acaba en el punto de partida.

La verdad es que es una muy buena observación...

Saludos.

Se me olvidó indicar que el segundo recorrido se hace sobre un paralelo de 20 millas de circunferencia; pero veo que te has dado cuenta y que lo importante es que el polo N no es el único en el que se cumple la condición de volver al punto de partida sino una infinidad de puntos de la esfera.

Salud y buenos vientos

[PeibolHook]

Esta en el polo norte, pues comienza yendo hacia el sur. Celebrémoslo.

Lo de los 90º "exactos" no está bien planteado, no obstante, hay que cambiar el enunciado, y de paso poner "ve un animal" y en lugar de un cazador puedes poner a un "fotógrafo", que si lo pillan se le cae el pelo.

[ivanlc]

Bienvenidos a la geometría de Riemann!!
Euclides partió del principio que las rectas paralelas
que pasen por puntos distinsto nunca se crucen.
Riemann observó que quitando este axioma se podía seguir
haciendo geometría (ej. sobre la esfera).
Los triangulos tienen más de 180 grados sobre esta superficie.

El Norte tiene que ser el punto de partita porque el triángulo
pasa por dos meridianos y un paralelo. Los meridianos
se cruzan en los polos. Como va hacía el Sur pues se descarta
el polo norte.

[ivanlc]

Originalmente publicado por ivanlc

Bienvenidos a la geometría de Riemann!!
Euclides partió del principio que las rectas paralelas
que pasen por puntos distinsto nunca se crucen.
Riemann observó que quitando este axioma se podía seguir
haciendo geometría (ej. sobre la esfera).
Los triangulos tienen más de 180 grados sobre esta superficie.

El Norte tiene que ser el punto de partita porque el triángulo
pasa por dos meridianos y un paralelo. Los meridianos
se cruzan en los polos. Como va hacía el Sur pues se descarta
el polo norte.

Ooops, quise decir se descarta el polo Sur!

[Yofloto]

Como errar es de humanos... reconozco mi error al insinuar que ese paralelo y esa distancia recorrida era el unico caso en que se daba esa circunstancia.

En efecto, hay infinitos puntos.

Basta con recorrer en dirección N o S una distancia igual al perimetro del paralelo al que llegas.

Si recorres una distancia en sentido W o E igual al perímetro del paralelo al que llegas, acabas en el punto de partida al comenzar el recorrido sobre ese paralelo. Si después realizas el recoriido contrario al primer recorrido acabas en la situación inicial.

Si estás en el hemisferio N tendrás que iniciar el recorrido hacia el N.
Si estás en el hemisferio S tendrás que iniciar el recorrido hacia el S.

Y, obviamente, hay un límite pasado el cual los perímetros de los paralelos son siempre más largos que las distancias recorridas en dirección N ó S.

¿Alguien sabe cual es ese límite?

Buena pregunta...

Este dibujo no guarda las proporciones, pero da una idea.