Problema de Trigonometría esférica (geometria descriptiva)

[Yofloto]

Originalmente publicado por MasBarco

Solo para centrar alguna de las cosas de este hilo, más que nada para que no queden las cosas, en mi opinión, confusas y/o erradas.

También en mi opinión ya ha habido cofrades que han apuntado las cuestiones correctas, madrugón primero, luego Calixto y también beagle en su 2ª intervención y Calixto insiste de nuevo, y yo mismo (por no poner el burro delante), pero nadie parece hacernos mucho caso. (Y seguramente alguien escriba algo más mientras redacto esto).

Así que he hecho un dibujo para explicarme mejor.




En resumen, digo lo siguiente:

1.- Si vas hacia el NORTE desde el hemisferio sur y al llegar al Ecuador giras 90º a la derecha, irás hacia el ESTE.

Lo que es lo mismo:
2.- Si vas hacia el SUR desde el hemisferio norte y al llegar al Ecuador giras 90º a la derecha, irás hacia el OESTE.

Lo que es lo mismo:
3.- Si vas hacia el NORTE y al llegar al polo norte giras 90º a la derecha, irás hacia el SUR.

Todo esto es porque todas las circunferencias implicadas en los caminos recorridos son de círculo máximo y perpendiculares entre sí.

Pero…
4.- Si vas hacia el SUR desde el polo norte, punto P, y al llegar a un punto Q giras 90º a la derecha, NO irás hacia el OESTE. Estás de cara al punto R, por lo que, si sigues de frente llegarás hasta al punto R.

Esto es porque la Tierra, según las últimas informaciones, NO es plana. Por tanto, después del giro seguirás por la circunferencia de círculo máximo (definida por QR) perpendicular a la que seguias antes del giro, que era la definida por PQ. Dicho de otra manera, más ‘náutica’, seguirás un rumbo ortodrómico en el que tu rumbo INICIAL es OESTE=270º.

Ahora digo:
Los puntos P, Q y R son los vértices de un triángulo esférico. Si los lados PQ y QR son iguales (en la figura 70º=4200 millas) y el ángulo PQ/QR es 90º, el lado QP NO es igual a los anteriores y los otros ángulos tampoco son 90º. Luego el planteamiento del problema del hilo es incorrecto. Únicamente en el caso de que cada tramo recorrido fuera de 5.400 millas=90º llegarías de nuevo al punto de partida, los tres ángulos serían de 90º y el triángulo esférico equilátero

Si te empeñas en hacer la Tierra plana, con la ayuda de una carta Mercator por ejemplo, y giras 90º sobre la carta a la derecha, después del giro SI tendrás rumbo OESTE=270º, llegarás a un punto r, o a otro cualquiera del paralelo Qr y, si vuelves a girar 90º sobre la carta a la derecha. al final de recorrer una distancia igual a la primera PR, llegarás al punto de partida.

Pero los puntos PQr NO definen un triángulo esférico (porque el lado Qr NO es arco de círculo máximo. La derrota es loxodrómica, que en sus tramos PQ y rP coincide con la ortodrómica.

Respecto a algunas otras cosas que se han dicho a lo largo del hilo, voy a permitirme comentarlas en conjunto con una cita a mazarredo, como ‘culpable’ de iniciar el hilo y por favor ruego perdón a todos, pero el obligarme a pensar tanto tiene estas consecuencias.



La segunda parte el FALSO, en sus dos afirmaciones, primero porque los tres ángulos serán de 90º SOLO si los lados miden 90º=5.400 millas, segundo porque existen infinitos triángulos esféricos equiláteros sobre la Tierra con esta condición, y tercero porque cualquier recorrido por un triángulo esférico partiendo desde cualquier punto que tenga sus tres tramos iguales será equilátero y volverás al punto de partida… sólo que los ángulos de giro NO serán de 90º (con la excepción anterior).


Ruego de nuevo mil perdones y gracias a mazarredo por el hilo que, a mi al menos, me ha obligado a pensar y me ha permitido aclarar unas cuantas ideas.

Saludos

Cofrade masbarco.
Elogiable tu interés y trabajo en "visualizar" el problema que nos ocupa. Al elogiarte a tí me elogio a mí pues yo hago algo parecido. Tu explicación está muy trabajada, sin embargo hay algunas cosas que no acabo de comprender:

Afirmas que:

Si los lados PQ y QR son iguales (en la figura 70º=4200 millas) y el ángulo PQ/QR es 90º, el lado QP NO es igual a los anteriores y los otros ángulos tampoco son 90º.

Eso no lo acabo de ver pues un lado mide lo mismo medido en sentido PQ que en sentido QP

Tambien esto es confuso:
Pero los puntos PQr NO definen un triángulo esférico (porque el lado Qr NO es arco de círculo máximo. La derrota es loxodrómica, que en sus tramos PQ y rP coincide con la ortodrómica.

Yo creo que lo que no define ese triángulo esférico no son los tres puntos, precisamente, sino el lado QR, como dices bien, ya que no es un círculo máximo. Pero esos dos puntos unidos por un círculo máximo sí que determinarían un triángulo esférico aunque sin valores de los ángulos no se puede determinar si es equilátero o nó. Más o menos así:



Clare está que este lado no constituye un rumbo loxodrómico. A efectos de navegación es más cómodo cortar por el paralelo pero ello supone una distancia mayor.
En trigonometría esférica un triángulo esférico con uno, dos o tres ángulos rectos se denomina rectángulo, birrectángulo o trirrectángulo respectivamente. Un triángulo esférico en que uno, dos o tres lados son cuadrantes (cuarto de circunferencia máxima de la esfera) se denomina triángulo cuadrantal, bicuadrantal o tricuadrantal (también se llama "octante"), se deduce que un triángulo trirrectángulo es equilátero y además tricuadrantal, pero no es imperativo que un triángulo equilátero tenga que ser trirréctángulo o tricuadrantal.
Ejemplos:

Caso del triángulo equilátero trirrectángulo (que, por co**nes ha de ser tricuadrantal)



Los valores de la longitud de los lados son muy aproximadas porque es muy difícil coincidir los valores de los ángulos en 90º, pero valen como ejemplo. Una esfera se puede dividir en 8 triángulos tricuadrantales.

Caso del triángulo equilátero que no es rectángulo (repito lo del valor aproximado de los ángulos)



Y caso de un triángulo equilátero ya mucho más pequeño:



Podéis probar a hacer triángulos equiláteros sobre una esfera en:
http://www.walter-fendt.de/m11s/sphertriangle_s.htm

A ver cual es el valor de los ángulos del triángulo equílátero más pequeño que lográis hacer.

Y, por supuesto estoy contigo en que: los tres ángulos serán de 90º SOLO si los lados miden 90º=5.400 millas, segundo porque existen infinitos triángulos esféricos equiláteros sobre la Tierra con esta condición, y tercero porque cualquier recorrido por un triángulo esférico partiendo desde cualquier punto que tenga sus tres tramos iguales será equilátero y volverás al punto de partida… sólo que los ángulos de giro NO serán de 90º (con la excepción anterior).

Y a ver si os dedicais, todos en general, a navegar en lugar de tocar los h**vos al personal con cuestiones de este tipo, que tengo otras cosas en que pensar